Exercício 8.1.2. Inverta a ordem de integração:
(a) \int_{0}^{1}\left[\int_{0}^{x} f(x, y) d y\right] d x.
(b) \int_{0}^{1}\left[\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} f(x, y) d x\right] d y.
(c) \int_{0}^{1}\left[\int_{e^{y-1}}^{e^{y}} f(x, y) d x\right] d y.
(d) \int_{1}^{e}\left[\int_{\ln (x)}^{x} f(x, y) d y\right] d x.
(e) \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left[\int_{\operatorname{sen}(x)}^{\cos (x)} f(x, y) d y\right] d x.

Passo 1

O que o exercício pede: inverter a ordem de integração para cada uma das integrais (a) a (e). Ou seja, cada integral dupla dada tem a forma
\int_{a}^{b}\left[\int_{\text{(lim inf dependente)}}^{\text{(lim sup dependente)}} f(x,y)\,d(\text{variável interna})\right]d(\text{variável externa}),áá
e precisamos escrever a mesma integral trocando a ordem de integração (integrar primeiro na outra variável).
Informações dadas (lista das integrais que eu tenho que inverter):
(a) \int_{0}^{1}\left[\int_{0}^{x} f(x,y)\,dy\right]dx.
(b) \int_{0}^{1}\left[\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} f(x,y)\,dx\right]dy.
(c) \int_{0}^{1}\left[\int_{e^{y-1}}^{e^{y}} f(x,y)\,dx\right]dy.
(d) \int_{1}^{e}\left[\int_{\ln(x)}^{x} f(x,y)\,dy\right]dx.
(e) \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left[\int_{\sin(x)}^{\cos(x)} f(x,y)\,dy\right]dx.

Passo 2

Estratégia geral (como pensar para inverter a ordem): visualizar a região R no plano xy descrita pelos limites atuais. A integral original diz “para cada valor da variável externa tomamos pontos da variável interna entre duas curvas”. Essa coleção de pontos é R. Para inverter, eu projeto R no outro eixo e, para cada valor da nova variável externa, encontro o intervalo da outra variável que fica dentro de R. Regras úteis:
  • Se a integral original é \int_{x=a}^{b}\int_{y=g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)\,dy\,dx, então R=\{(x,y): a\le x\le b,\\ g_1(x)\le y\le g_2(x)\}. Para inverter, eu encontro os valores mínimos e máximos de y em R e, para cada y, resolvo as desigualdades g_1(x)\le y\le g_2(x) para obter os limites em x.
  • Sempre manter f(x,y) e só trocar a ordem dos diferenciais (de dy\,dx para dx\,dy ou vice-versa).
    Vou aplicar essa ideia, passo a passo, em cada item.

Passo 3

Parte (a). Região R: a integral é
\int_{0}^{1}\left[\int_{0}^{x} f(x,y)\,dy\right]dx.
Isto significa R=\{(x,y): 0\le x\le 1,\\\ 0\le y\le x\}. Em palavras: pontos entre a reta y=0 e a reta y=x, com x de 0 a 1. Para inverter: projetamos no eixo y. Qual é o menor e maior y em R? O menor é 0, o maior é 1 (quando x=1 temos y chegando a 1). Para um y fixo em [0,1], que valores de x estão em R? A condição 0\le y\le x equivale a x\ge y. Como x também precisa estar em [0,1], então x vai de x=y até x=1. Logo a integral invertida é
\int_{0}^{1}\left[\int_{y}^{1} f(x,y)\,dx\right]dy.

Passo 4

Parte (b). Região R: integral dada
\int_{0}^{1}\left[\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} f(x,y)\,dx\right]dy.
Isto significa R=\{(x,y): 0\le y\le 1,\\\ -\sqrt{y}\le x\le \sqrt{y}\}. A desigualdade -\sqrt{y}\le x\le\sqrt{y} é equivalente a x^{2}\le y (porque |x|\le\sqrt{y} \Longleftrightarrow x^{2}\le y), junto com y\ge 0. Projetando em x: quais x aparecem em R? Precisamos de x tais que exista y\in[0,1] com y\ge x^{2}. Isso exige x^{2}\le 1, ou seja -1\le x\le 1. Para um x fixo em [-1,1], y deve satisfazer x^{2}\le y\le 1. Assim a integral invertida é
\int_{-1}^{1}\left[\int_{x^{2}}^{1} f(x,y)\,dy\right]dx.

Passo 5

Parte (c). Região R: integral dada
\int_{0}^{1}\left[\int_{e^{y-1}}^{e^{y}} f(x,y)\,dx\right]dy.
Isso descreve R=\{(x,y): 0\le y\le 1,\\ e^{y-1}\le x\le e^{y}\}. Primeiro determino a projeção no eixo x: o menor x ocorre quando y=0 em e^{y-1}=e^{-1}, e o maior quando y=1 em e^{y}=e. Logo x varia em [e^{-1},e]. Agora, para um x fixo em [e^{-1},e], preciso achar os y que satisfazem simultaneamente 0\le y\le 1 e e^{y-1}\le x\le e^{y}. Tomando logaritmo natural nas desigualdades (lembrando que \ln é monótona crescente):
  • x\ge e^{y-1} \ln x \ge y-1, ou y\le \ln x +1.
  • x\le e^{y} \ln x \le y, ou y\ge \ln x.
    Juntando e exigindo 0\le y\le 1, temos para cada x
\max\{\ln x,\,0\}\le y\le \min\{\ln x+1,\,1\}.
Para escrever de forma mais explícita é conveniente dividir em dois subintervalos de x, analisando o ponto x=1 (pois \ln 1=0):
  • Se e^{-1}\le x\le 1, então \ln x\le 0, logo \max\{\ln x,0\}=0 e \min\{\ln x+1,1\}=\ln x+1. Assim y\in[0,\ln x+1].
  • Se 1\le x\le e, então \ln x\ge 0, logo \max\{\ln x,0\}=\ln x e \min\{\ln x+1,1\}=1. Assim y\in[\ln x,1].
    Portanto a integral invertida fica como soma de duas integrais:
\int_{e^{-1}}^{1}\left[\int_{0}^{\ln x+1} f(x,y)\,dy\right]dx \;+\; \int_{1}^{e}\left[\int_{\ln x}^{1} f(x,y)\,dy\right]dx.

Passo 6

Parte (d). Região R: integral dada
\int_{1}^{e}\left[\int_{\ln(x)}^{x} f(x,y)\,dy\right]dx.
Então R=\{(x,y): 1\le x\le e,\\ \ln x\le y\le x\}. Vou inverter: para um y fixo, quais x satisfazem \ln x\le y\le x com x\in[1,e]? Reescrevendo:
  • \ln x\le y é equivalente a x\le e^{y}.
  • y\le x é equivalente a x\ge y.
    Combinando e lembrando do corte 1\le x\le e, obtemos para cada y as condições \max\{1,y\}\le x\le \min\{e,e^{y}\}. Agora determinamos o intervalo de y em que essa interseção existe. Observando extremos: o menor y vale \ln 1=0 e o maior pode chegar a x máximo que é e (quando x=e o y pode chegar a e). Assim y varia em [0,e]. Convém dividir em dois pedaços em função de y=1 (pois e^{y} cruza e em y=1):
  • Se 0\le y\le 1, então e^{y}\le e e \max\{1,y\}=1. Logo x\in[1,e^{y}].
  • Se 1\le y\le e, então e^{y}\ge e e \max\{1,y\}=y. Logo x\in[y,e].
    Assim a integral invertida é
\int_{0}^{1}\left[\int_{1}^{e^{y}} f(x,y)\,dx\right]dy \;+\; \int_{1}^{e}\left[\int_{y}^{e} f(x,y)\,dx\right]dy.

Passo 7

Parte (e). Região R: integral dada
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left[\int_{\sin(x)}^{\cos(x)} f(x,y)\,dy\right]dx.
Então R=\{(x,y): 0\le x\le \tfrac{\pi}{4},\\ \sin x\le y\le \cos x\}. Observações úteis: em [0,\tfrac{\pi}{4}] a função \sin x é crescente (de 0 até \tfrac{\sqrt2}{2}) e \cos x é decrescente (de 1 até \tfrac{\sqrt2}{2}). Assim para x nesse intervalo sempre \sin x\le \cos x. Primeiro a projeção em y: o menor y vale \sin 0=0, o maior vale \cos 0=1. Então y\in[0,1]. Para um y fixo, quero os x\in[0,\tfrac{\pi}{4}] que satisfazem \sin x\le y\le \cos x. Resolver separadamente:
  • \sin x\le y com \sin crescente em [0,\tfrac{\pi}{2}] equivale a x\le \arcsin(y).
  • \cos x\ge y com \cos decrescente em [0,\tfrac{\pi}{2}] equivale a x\le \operatorname{arccos}(y).
    Assim ambos exigem x\le \min\{\arcsin(y),\operatorname{arccos}(y)\}. Como sempre x\ge 0, o conjunto de x admissíveis é 0\le x\le \min\{\arcsin(y),\operatorname{arccos}(y)\}. Agora note que \arcsin(y)\le\operatorname{arccos}(y) exatamente quando y\le \tfrac{\sqrt2}{2} (porque em y=\tfrac{\sqrt2}{2} ambas valem \tfrac{\pi}{4}). Portanto é natural dividir y em dois intervalos:
  • Se 0\le y\le \tfrac{\sqrt2}{2}, então \min\{\arcsin(y),\operatorname{arccos}(y)\}=\arcsin(y), e x\in[0,\arcsin(y)].
  • Se \tfrac{\sqrt2}{2}\le y\le 1, então \min\{\arcsin(y),\operatorname{arccos}(y)\}=\operatorname{arccos}(y), e x\in[0,\operatorname{arccos}(y)].
    Portanto a integral invertida fica como soma:
\int_{0}^{\frac{\sqrt2}{2}}\left[\int_{0}^{\arcsin(y)} f(x,y)\,dx\right]dy \;+\; \int_{\frac{\sqrt2}{2}}^{1}\left[\int_{0}^{\operatorname{arccos}(y)} f(x,y)\,dx\right]dy.
(Na prática podemos lembrar que \sin(\tfrac{\pi}{4})=\cos(\tfrac{\pi}{4})=\tfrac{\sqrt2}{2}, que é o ponto que separa os dois comportamentos.)

Resposta

(a) \int_{0}^{1}\left[\int_{y}^{1} f(x,y)\,dx\right]dy.
(b) \int_{-1}^{1}\left[\int_{x^{2}}^{1} f(x,y)\,dy\right]dx.
(c) \int_{e^{-1}}^{1}\left[\int_{0}^{\ln x+1} f(x,y)\,dy\right]dx \;+\; \int_{1}^{e}\left[\int_{\ln x}^{1} f(x,y)\,dy\right]dx.
(d) \int_{0}^{1}\left[\int_{1}^{e^{y}} f(x,y)\,dx\right]dy \;+\; \int_{1}^{e}\left[\int_{y}^{e} f(x,y)\,dx\right]dy.
(e) \int_{0}^{\frac{\sqrt2}{2}}\left[\int_{0}^{\arcsin(y)} f(x,y)\,dx\right]dy \;+\; \int_{\frac{\sqrt2}{2}}^{1}\left[\int_{0}^{\operatorname{arccos}(y)} f(x,y)\,dx\right]dy.

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