Exercício 8.1.2. Inverta a ordem de integração:
(a)
.
(b)
.
(c)
.
(d)
.
(e)
.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O que o exercício pede: inverter a ordem de integração para cada uma das integrais (a) a (e). Ou seja, cada integral dupla dada tem a forma
e precisamos escrever a mesma integral trocando a ordem de integração (integrar primeiro na outra variável).
Informações dadas (lista das integrais que eu tenho que inverter):
Informações dadas (lista das integrais que eu tenho que inverter):
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 2
Estratégia geral (como pensar para inverter a ordem): visualizar a região
no plano
descrita pelos limites atuais. A integral original diz “para cada valor da variável externa tomamos pontos da variável interna entre duas curvas”. Essa coleção de pontos é
. Para inverter, eu projeto
no outro eixo e, para cada valor da nova variável externa, encontro o intervalo da outra variável que fica dentro de
. Regras úteis:
- Se a integral original é
, então . Para inverter, eu encontro os valores mínimos e máximos de em e, para cada , resolvo as desigualdades para obter os limites em . - Sempre manter
e só trocar a ordem dos diferenciais (de para ou vice-versa).
Vou aplicar essa ideia, passo a passo, em cada item.
Passo 3
Parte (a). Região
: a integral é
Isto significa
. Em palavras: pontos entre a reta
e a reta
, com
de
a
. Para inverter: projetamos no eixo
. Qual é o menor e maior
em
? O menor é
, o maior é
(quando
temos
chegando a
). Para um
fixo em
, que valores de
estão em
? A condição
equivale a
. Como
também precisa estar em
, então
vai de
até
. Logo a integral invertida é
Passo 4
Parte (b). Região
: integral dada
Isto significa
. A desigualdade
é equivalente a
(porque
), junto com
. Projetando em
: quais
aparecem em
? Precisamos de
tais que exista
com
. Isso exige
, ou seja
. Para um
fixo em
,
deve satisfazer
. Assim a integral invertida é
Passo 5
Parte (c). Região
: integral dada
Isso descreve
. Primeiro determino a projeção no eixo
: o menor
ocorre quando
em
, e o maior quando
em
. Logo
varia em
. Agora, para um
fixo em
, preciso achar os
que satisfazem simultaneamente
e
. Tomando logaritmo natural nas desigualdades (lembrando que
é monótona crescente):
-
dá , ou . -
dá , ou .
Juntando e exigindo, temos para cada
Para escrever de forma mais explícita é conveniente dividir em dois subintervalos de
, analisando o ponto
(pois
):
- Se
, então , logo e . Assim . - Se
, então , logo e . Assim .
Portanto a integral invertida fica como soma de duas integrais:
Passo 6
Parte (d). Região
: integral dada
Então
. Vou inverter: para um
fixo, quais
satisfazem
com
? Reescrevendo:
-
é equivalente a . -
é equivalente a .
Combinando e lembrando do corte, obtemos para cada as condições . Agora determinamos o intervalo de em que essa interseção existe. Observando extremos: o menor vale e o maior pode chegar a máximo que é (quando o pode chegar a ). Assim varia em . Convém dividir em dois pedaços em função de (pois cruza em ): - Se
, então e . Logo . - Se
, então e . Logo .
Assim a integral invertida é
Passo 7
Parte (e). Região
: integral dada
Então
. Observações úteis: em
a função
é crescente (de
até
) e
é decrescente (de
até
). Assim para
nesse intervalo sempre
. Primeiro a projeção em
: o menor
vale
, o maior vale
. Então
. Para um
fixo, quero os
que satisfazem
. Resolver separadamente:
-
com crescente em equivale a . -
com decrescente em equivale a .
Assim ambos exigem. Como sempre , o conjunto de admissíveis é . Agora note que exatamente quando (porque em ambas valem ). Portanto é natural dividir em dois intervalos: - Se
, então , e . - Se
, então , e .
Portanto a integral invertida fica como soma:
(Na prática podemos lembrar que
, que é o ponto que separa os dois comportamentos.)
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)