Exercício 3.7: Suponhamos que 3 \mathrm{~m}^{3} de um gás à pressão atmosférica são comprimidos adiabaticamente (sem troca de calor) até que a pressão seja igual a 5 atmosferas manométricas. Admitindo que o índice de compressão seja \mathrm{k}=1,3, determinar o novo
volume do gás. Dados: V_{1}=3,0 \mathrm{~m}^{3} ; p_{1}=1 \mathrm{~atm} ; p_{2}=5 \mathrm{~atm}+1 \mathrm{~atm}=6 \mathrm{~atm} ; V_{2}=? ; \mathrm{k} =1,3

Passo 1

O enunciado fala de uma compressão adiabática de um gás, ou seja, sem troca de calor. O modelo teórico é o da lei
pV^k=\text{constante},
onde k é o índice adiabático. Dados:
V_{1}=3{,}0\\ \mathrm{m}^3,\quad p_{1}=1\\ \mathrm{atm},\quad p_{2}=5\\ \mathrm{atm\,(manométricas)}+1\\ \mathrm{atm}=6\\ \mathrm{atm},\quad k=1{,}3.é

Passo 2

Como p_{1}V_{1}^k=p_{2}V_{2}^k, basta isolar V_{2}. Temos
V_{2}^k = \frac{p_{1}}{p_{2}}\,V_{1}^k \quad\Longrightarrow\quad V_{2} = V_{1}\,\Bigl(\frac{p_{1}}{p_{2}}\Bigr)^{\!1/k}.

Passo 3

Substituindo os valores:
V_{2} = 3{,}0\;\bigl(\tfrac{1}{6}\bigr)^{1/1{,}3}.
Calculemos o expoente:
\tfrac{1}{1{,}3}\approx0{,}7692, \quad (1/6)^{0{,}7692}=\exp\bigl(\ln(1/6)\times0{,}7692\bigr)\approx0{,}252.
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V_{2}\approx3{,}0\times0{,}252=0{,}756\\ \mathrm{m}^3.

Resposta

O novo volume vale aproximadamente V_{2}=0{,}76\\ \mathrm{m}^3.

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