Exercício 5.12.10. Estabelecer quais das seguintes matrizes são ortogonais:
A=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right), \quad C=\left(\begin{array}{cc} 0 & 3 \\ -3 & 0 \end{array}\right), \quad D=\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 1 / 2 & 2 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá quatro matrizes A,B,C,D em \mathbb{R}^{2\times2} e pede para verificar quais são ortogonais. Lembrando que uma matriz Q é ortogonal quando
Q^TQ = I,
ou seja, as colunas de Q formam um sistema ortonormal. Vamos calcular M^T M para cada matriz M.

Passo 2

Para
A = \begin{pmatrix}0 & 1 \\[6pt] -1 & 0\end{pmatrix}
temos
A^T = \begin{pmatrix}0 & -1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}
e
A^T A = \begin{pmatrix}0 & -1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] -1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} = I.
Logo, A é ortogonal.]

Passo 3

Para
B = \begin{pmatrix}0 & 1 \\[6pt] 1 & 0\end{pmatrix}
observamos que B^T = B. Então
B^T B = B^2 = \begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} = I.
Portanto, B também é ortogonal.]

Passo 4

Para
C = \begin{pmatrix}0 & 3 \\[6pt] -3 & 0\end{pmatrix}
temos
C^T = \begin{pmatrix}0 & -3 \\[4pt] 3 & 0\end{pmatrix},
C^T C = \begin{pmatrix}0 & -3 \\[4pt] 3 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 3 \\[4pt] -3 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}9 & 0 \\[4pt] 0 & 9\end{pmatrix} = 9I,
que não é I. Assim, C não é ortogonal.]

Passo 5

Para
D = \begin{pmatrix}1 & 2 \\[6pt] \tfrac12 & 2\end{pmatrix}
calculamos
D^T = \begin{pmatrix}1 & \tfrac12 \\[4pt] 2 & 2\end{pmatrix}
e em particular o elemento (1,1) de D^T D é
1\cdot1 + \tfrac12\cdot\tfrac12 = 1 + \tfrac14 = \tfrac54 \neq 1.
Logo D^T D \neq I e D não é ortogonal.]

Resposta

As matrizes ortogonais são A e B.

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