Exercício 5.12.9. Seja dada a equação matricial A X=B, onde A, B, X \in M_{n}(\mathbb{R}), \operatorname{com} \operatorname{det} A \neq 0. Provar que se A A^{T}=B B^{T}=I, então X è ortogonal.

Passo 1

O enunciado diz que A, B e X são matrizes reais n\times n com \det A\neq0 e satisfazem
A\,X = B,
além de
A\,A^{T} = I \quad\text{e}\quad B\,B^{T} = I.
Queremos mostrar que X é ortogonal, ou seja,
X\,X^{T} = I.
Para isso vamos usar:
  • \det A\neq0 implica A invertível.
  • A definição de matriz ortogonal M\,M^{T}=I.
  • Propriedades de transposta e inversa.

Passo 2

Como \det A\neq0, A é invertível e A^{-1} existe. Da igualdade A\,A^{T}=I segue que
A^{T} = A^{-1},
isto é, A já é ortogonal. Agora multiplico a equação A\,X = B à esquerda por A^{T}:
A^{T}\,(A\,X) = A^{T}\,B \quad\Longrightarrow\quad (A^{T}A)\,X = A^{T}B \quad\Longrightarrow\quad I\;X = A^{T}B \quad\Longrightarrow\quad X = A^{T}B.

Passo 3

Usando X = A^{T}B, calculo
X\,X^{T} = (A^{T}B)\,(A^{T}B)^{T} = A^{T}\,B\,B^{T}\,A = A^{T}\,I\,A = A^{T}A.
Mas como A é ortogonal A\,A^{T}=I, também vale A^{T}A=I. Logo
X\,X^{T} = I,
proibindo exatamente a ortogonalidade de X.

Resposta

X é ortogonal, pois X\,X^{T}=I.

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