Exercício 5.12.9. Seja dada a equação matricial
, onde
,
. Provar que se
, então
è ortogonal.
Passo 1
O enunciado diz que
,
e
são matrizes reais
com
e satisfazem
além de
Queremos mostrar que
é ortogonal, ou seja,
Para isso vamos usar:
-
implica invertível. - A definição de matriz ortogonal
. - Propriedades de transposta e inversa.
Passo 2
Como
,
é invertível e
existe. Da igualdade
segue que
isto é,
já é ortogonal. Agora multiplico a equação
à esquerda por
:
Passo 3
Usando
, calculo
Mas como
é ortogonal
, também vale
. Logo
proibindo exatamente a ortogonalidade de
.