Exercício 5.12.8. Dado o sub-espaço vetorial V=[(2,1,1,0),(0,1,2,0)] \subseteq \mathbb{R}^{4} :
a) determinar um vetor \mathbf{v}_{\mathbf{1}} \in V tal que \left\|\mathbf{v}_{\mathbf{1}}\right\|=2 e dizer se um tal vetor é único;
b) determinar um vetor \mathbf{v}_{\mathbf{2}} \in V^{\perp} tal que \left\|\mathbf{v}_{\mathbf{2}}\right\|=1 e dizer se um tal vetor é único;
c) estabelecer se vale \left|\left\langle\mathbf{v}_{\mathbf{1}}, \mathbf{v}_{\mathbf{2}}\right\rangle\right|=\left\|\mathbf{v}_{\mathbf{1}}\right\|\left\|\mathbf{v}_{\mathbf{2}}\right\|;
d) determinar um vetor \mathbf{v}_{\mathbf{3}} \in V tal que o angulo entre \mathbf{v}_{\mathbf{3}} \mathrm{e}(2,1,0,0) seja \pi / 2, e estabelecer se um tal vetor é único.

Passo 1

O enunciado nos dá o subespaço vetorial
V = \operatorname{span}\{u,(2,1,1,0),\;w=(0,1,2,0)\}\subseteq\mathbb{R}^4
e pede:
a) um vetor \mathbf{v}_1\in V com \|\mathbf{v}_1\|=2 e verificar se é único;
b) um vetor \mathbf{v}_2\in V^\perp com \|\mathbf{v}_2\|=1 e verificar se é único;
c) checar se \bigl|\langle \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\rangle\bigr|=\|\mathbf{v}_1\|\|\mathbf{v}_2\|;
d) um vetor \mathbf{v}_3\in V ortogonal a (2,1,0,0) (ângulo \pi/2) e verificar sua unicidade.

Passo 2

Para (a) escolhemos o gerador u=(2,1,1,0). Seu comprimento é
\|u\|=\sqrt{2^2+1^2+1^2+0^2}=\sqrt{6}.
Para obter norma 2 basta escalar u por 2/\sqrt6. Assim
\mathbf{v}_1 = \frac{2}{\sqrt6}(2,1,1,0) = \Bigl(\tfrac{4}{\sqrt6},\tfrac{2}{\sqrt6},\tfrac{2}{\sqrt6},0\Bigr),
e de fato \|\mathbf{v}_1\|=2.
Esse \mathbf{v}_1 não é único, pois em V há infinitos vetores de norma 2 (basta pegar qualquer direção em V e normalizar para comprimento 2).

Passo 3

Para (b) achamos V^\perp resolvendo
x\cdot u=2x_1+x_2+x_3=0,\quad x\cdot w=x_2+2x_3=0.
Da segunda vem x_2=-2x_3. Na primeira, 2x_1-2x_3+x_3=0 x_1=x_3/2. Logo
V^\perp = \operatorname{span}\{(1/2,-2,1,0),\;(0,0,0,1)\}.
Escolhemos o vetor (0,0,0,1), que já tem norma 1. Assim
\mathbf{v}_2 = (0,0,0,1),
com \|\mathbf{v}_2\|=1.
Esse \mathbf{v}_2 não é único, pois V^\perp é de dimensão 2 e há infinitos vetores unitários nele.

Passo 4

Calculamos o produto interno
\langle \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\rangle = \tfrac{4}{\sqrt6}\cdot0 + \tfrac{2}{\sqrt6}\cdot0 + \tfrac{2}{\sqrt6}\cdot0 + 0\cdot1 =0.
Enquanto \|\mathbf{v}_1\|\|\mathbf{v}_2\|=2\cdot1=2. Logo
\bigl|\langle \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\rangle\bigr|=0 \neq 2
e a igualdade é falsa.

Passo 5

Para (d) buscamos \mathbf{v}_3=\alpha u+\beta w\in V ortogonal a p=(2,1,0,0), ou seja
\langle \alpha u+\beta w,\;p\rangle =\alpha\langle u,p\rangle+\beta\langle w,p\rangle=0.
Como \langle u,p\rangle=5 e \langle w,p\rangle=1, vem
5\alpha + \beta = 0 \quad\Longrightarrow\quad \beta = -5\alpha.
Tomando \alpha=1 temos
\mathbf{v}_3 = (2,-4,-9,0).
Esse \mathbf{v}_3 não é único: qualquer múltiplo escalar de (2,-4,-9,0) também está em V e é ortogonal a (2,1,0,0).

Resposta

(a) \mathbf{v}_1=(4/\sqrt6,2/\sqrt6,2/\sqrt6,0), não é único.
(b) \mathbf{v}_2=(0,0,0,1), não é único.
(c) \bigl|\langle \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\rangle\bigr|=0\neq2=\|\mathbf{v}_1\|\|\mathbf{v}_2\|.
(d) \mathbf{v}_3=(2,-4,-9,0), não é único.

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