Exercício 5.12.8. Dado o sub-espaço vetorial V=[(2,1,1,0),(0,1,2,0)] \subseteq \mathbb{R}^{4} :
a) determinar um vetor \mathbf{v}_{\mathbf{1}} \in V tal que \left\|\mathbf{v}_{\mathbf{1}}\right\|=2 e dizer se um tal vetor é único;
b) determinar um vetor \mathbf{v}_{\mathbf{2}} \in V^{\perp} tal que \left\|\mathbf{v}_{\mathbf{2}}\right\|=1 e dizer se um tal vetor é único;
c) estabelecer se vale \left|\left\langle\mathbf{v}_{\mathbf{1}}, \mathbf{v}_{\mathbf{2}}\right\rangle\right|=\left\|\mathbf{v}_{\mathbf{1}}\right\|\left\|\mathbf{v}_{\mathbf{2}}\right\|;
d) determinar um vetor \mathbf{v}_{\mathbf{3}} \in V tal que o angulo entre \mathbf{v}_{\mathbf{3}} \mathrm{e}(2,1,0,0) seja \pi / 2, e estabelecer se um tal vetor é único.
Passo 1
O enunciado nos dá o subespaço vetorial
V = \operatorname{span}\{u,(2,1,1,0),\;w=(0,1,2,0)\}\subseteq\mathbb{R}^4
e pede:
a) um vetor \mathbf{v}_1\in V com \|\mathbf{v}_1\|=2 e verificar se é único;
b) um vetor \mathbf{v}_2\in V^\perp com \|\mathbf{v}_2\|=1 e verificar se é único;
c) checar se \bigl|\langle \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\rangle\bigr|=\|\mathbf{v}_1\|\|\mathbf{v}_2\|;
d) um vetor \mathbf{v}_3\in V ortogonal a (2,1,0,0) (ângulo \pi/2) e verificar sua unicidade.
Passo 2
Para (a) escolhemos o gerador u=(2,1,1,0). Seu comprimento é
\|u\|=\sqrt{2^2+1^2+1^2+0^2}=\sqrt{6}.
Para obter norma 2 basta escalar u por 2/\sqrt6. Assim
e de fato \|\mathbf{v}_1\|=2.
Esse \mathbf{v}_1não é único, pois em V há infinitos vetores de norma 2 (basta pegar qualquer direção em V e normalizar para comprimento 2).
Esse \mathbf{v}_3não é único: qualquer múltiplo escalar de (2,-4,-9,0) também está em V e é ortogonal a (2,1,0,0).
Resposta
(a) \mathbf{v}_1=(4/\sqrt6,2/\sqrt6,2/\sqrt6,0), não é único.
(b) \mathbf{v}_2=(0,0,0,1), não é único.
(c) \bigl|\langle \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\rangle\bigr|=0\neq2=\|\mathbf{v}_1\|\|\mathbf{v}_2\|.
(d) \mathbf{v}_3=(2,-4,-9,0), não é único.