Utilize a definição de derivada nas atividades abaixo:
Para cada função f(x), determine a derivada f^prime(x) no ponto x0 indicado:
f(x)=5 x^4+x^3-6 x^2+9 x-4 para x0=0

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=5x^4+x^3-6x^2+9x-4
e pede a derivada em x0=0 usando a definição de derivada por limite. Vamos usar
f'(0)=limhto0f(0+h)-f(0)h

Passo 2

Aplicando a definição, escrevemos
f'(0)=limhto0f(h)-f(0)h

Passo 3

Calculamos os valores de f(h) e f(0):
f(h)=5h^4+h^3-6h^2+9h-4,
f(0)=-4

Passo 4

Substituímos no quociente de diferença e simplificamos:
f(h)-f(0)h =5h^4+h^3-6h^2+9h-4-(-4)h =5h^4+h^3-6h^2+9hh =5h^3+h^2-6h+9

Passo 5

Agora basta tomar o limite quando hto0:
limhto0(5h^3+h^2-6h+9)=9

Resposta

f'(0)=9

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