Sabendo que F: R^2 R^2 é um operador linear e que F(1,2)=(3,-1) e F(1,0)=(2,1), encontre F(x, y), onde (x, y) é um vetor genérico do R^2.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear F:R^2toR^2 e informa
F(1,2)=(3,-1), F(1,0)=(2,1)
Como (1,2) e (1,0) são independentes, podemos escrever qualquer vetor genérico (x,y) como combinação linear desses dois, e então usar a linearidade de F.

Passo 2

Procuramos escalares a e b tais que
a,(1,2) + b,(1,0) = (x,y)
Isso gera o sistema
a + b = x, 2a = y,
cuja solução é
a = y2, b = x - y2

Passo 3

Pela linearidade,
F(x,y) = Fl(a,(1,2) + b,(1,0)r) = a,F(1,2) + b,F(1,0)
Substituindo a e b,
F(x,y) = y2,(3,-1) + l(x - y2r),(2,1)
Fazendo as contas coordenada a coordenada,
F(x,y) =l(3cdoty2 + 2l(x-y2r), -1cdoty2 + 1cdotl(x-y2r)r) =l(2x + tfracy2,,x - yr)

Resposta

F(x,y) = l(2x + tfracy2,,x - yr)

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