Exercício 12. Em cada um dos itens abaixo encontrar um subconjunto S, finito, que gere o subespaço vetorial W do espaço vetorial (V,+, cdot) indicado.
W=A in V ; A^t=A e V=M2(R), munido das operações usuais.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar um subconjunto finito S que gere o subespaço vetorial
W = Ain M2(R) mid A^t = A
O conteúdo envolve descrição de subespaço de matrizes simétricas e escolha de geradores.

Passo 2

Qualquer matriz simétrica pode ser escrita como
onde .

Passo 3

Note que
A = a1&00&0 + b0&11&0 + c0&00&1
Isso mostra que qualquer Ain W é combinação linear das três matrizes acima.

Passo 4

Como as três matrizes são finitas e geram todos os Ain W, o conjunto delas é um gerador finito de W.

Resposta

S = 1&00&0,; 0&11&0,; 0&00&1

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