Exercício 12. Calcular o momento de inércia de um disco circular de diâmetro 10 cm :
em relação ao seu próprio centro.

Passo 1

O enunciado pede o momento de inércia de um disco circular de diâmetro 10,cm em relação ao eixo que passa pelo seu centro (e é perpendicular ao plano do disco). O conteúdo aqui é momento de inércia de um corpo contínuo com densidade superficial uniforme, que se obtém pela integral
I = integral r^2,dm

Passo 2

Chamando M a massa total do disco e R o seu raio, temos
R = D2 = 10 cm2 = 5 cm = 0,05 m
A densidade superficial vale
sigma = Mpi R^2

Passo 3

Em coordenadas polares, um elemento de área é dA = r,dr,dtheta e, portanto, o elemento de massa é
dm = sigma,dA = sigma,r,dr,dtheta
Logo a integral do momento de inércia se escreve
I = integral0^2pi!integral0^R r^2,(sigma,r,dr,dtheta) = sigma integral0^2pi!dtheta integral0^R r^3,dr

Passo 4

Calculando as integrais:
integral0^2pi!dtheta = 2pi, integral0^R r^3,dr = R^44
Então
I = sigma ,2pi ,R^44 = pi R^2,sigma2,R^2 = M2,R^2

Passo 5

Substituindo R=0,05,m, fica
I = 12,M,(0,05)^2 = 12,M,0,0025 = 1,25times10^-3,M(kgcdotm^2)

Resposta

I = 12,M,R^2 ou I = 1,25times10^-3,M;kgcdotm^2

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