Exercício 2. Esboçar a região de integração e calcular as integrais iteradas seguintes:
integral0^2 integral-y^y(x y^2+x) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região de integração
R = (x,y)mid 0 <= y <= 2,,-y <= x <= y
e calcular a integral iterada
integral0^2!integral-y^y l(xy^2+xr),dx,dy
O conteúdo aqui é mudança de ordem de integração e integração de funções de duas variáveis em coordenadas cartesianas.

Passo 2

A região R é delimitada por:
,y=0 (eixo x), ,y=2 (reta horizontal) e as retas ,x=y e ,x=-y.
Isso forma um triângulo isósceles no plano xy com vértices em (0,0), (2,2) e (-2,2). No esboço, traçamos essas quatro curvas e vemos claramente a banda triangular simétrica em relação ao eixo y.

Passo 3

Vamos calcular primeiro a integral interna em x:
integral-y^yl(xy^2+xr),dx =integral-y^yx,(y^2+1),dx =(y^2+1)integral-y^yx,dx
Como xmapsto x é função ímpar e os limites são simétricos, temos
integral-y^yx,dx = 0
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integral-y^yl(xy^2+xr),dx = (y^2+1)cdot 0 = 0

Passo 4

Substituindo na integral externa em y:
integral0^2 0 ,dy = 0

Resposta

O valor da integral é 0.

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