Exercício 1. Calcular integral duplaR f(x, y) d x d y, onde:
f(x, y)=y e^x y ; R=(x, y) in R^2 mid 1 <= x <= 3,0 <= y <= 1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaRf(x,y),dx,dy,
onde f(x,y)=y,e^xy e
R=(x,y)inR^2mid 1<= x<=3,;0<= y<=1
O conteúdo usado será o Teorema de Fubini para trocar ordem de integração e, em seguida, técnicas de cálculo de integrais (integração por partes e reconhecimento de derivada).

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini, podemos escrever
integral duplaRy,e^xy,dx,dy =integralx=1^3!l(integraly=0^1y,e^xy,dyr)dx
Vamos então calcular primeiro
I(x)=integral0^1y,e^xy,dy

Passo 3

Para calcular I(x) usamos integração por partes, escolhendo
,u=y, ,dv=e^xydy.
Então
du=dy, v=integral e^xydy=1xe^xy
Logo
I(x) =l[ycdot1xe^xyr]0^1 -integral0^11xe^xy,dy =e^xx -1xintegral0^1e^xy,dy
E
integral0^1e^xy,dy =l[1xe^xyr]0^1 =e^x-1x
Assim
I(x) =e^xx -1xcdote^x-1x =e^xx -e^xx^2 +1x^2 =e^x(x-1)+1x^2

Passo 4

Substituindo em integral duplaR, temos
integral duplaRf(x,y),dx,dy =integral1^3e^x(x-1)+1x^2,dx =integral1^3e^x(x-1)x^2,dx +integral1^31x^2,dx

Passo 5

Note que
ddxl(e^xxr) =e^x(x-1)x^2,
então
integral1^3e^x(x-1)x^2,dx =l[e^xxr]1^3 =e^33-e^11 =e^33-e
E
integral1^31x^2,dx =l[-1xr]1^3 =-13-l(-1r) =1-13 =23

Passo 6

Somando as duas parcelas, obtemos
integral duplaRf(x,y),dx,dy =l(tfrace^33-er)+tfrac23 =e^33-e+23 =e^3-3e+23

Resposta

integral duplaRy,e^xy,dx,dy =e^3-3e+23

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