Exercício 12. Calcule as inversas das seguintes funções f(x)=3(x+1) ; g(x)= 3 x-2 ; h(x)=x^3+1 e r(x)=(h circ f)(x).

Passo 1

O enunciado pede para calcular as funções inversas de
f(x)=3(x+1),
g(x)=3x-2,
h(x)=x^3+1
e também de
r(x)=(hcirc f)(x)
O método geral é trocar x por y, inverter a relação trocando x e y, e resolver para y.

Passo 2

Para f(x)=3(x+1):
  1. Escrevemos
y=3(x+1)
  1. Invertendo, trocamos x e y:
x=3(y+1)
  1. Isolamos y:
y+1=x3 Longrightarrow y=x3-1
Logo
f^-1(x)=x3-1

Passo 3

Para g(x)=3x-2:
  1. Começamos com
y=3x-2
  1. Trocamos x e y:
x=3y-2
  1. Isolamos y:
3y=x+2 Longrightarrow y=x+23
Portanto
g^-1(x)=x+23

Passo 4

Para h(x)=x^3+1:
  1. Escrevemos
y=x^3+1
  1. Invertendo, trocamos x e y:
x=y^3+1
(na verdade, trocamos diretamente y=x^3+1 para x=y^3+1)
3. Isolamos a raiz cúbica:
y^3=x-1 Longrightarrow y=raiz[3]x-1
Assim
h^-1(x)=raiz[3]x-1

Passo 5

Primeiro encontramos r(x)=(hcirc f)(x):
r(x)=hl(f(x)r) = l(3(x+1)r)^3+1 =27(x+1)^3+1
Agora invertemos:
  1. Ponha
y=27(x+1)^3+1
  1. Troque x e y:
x=27(y+1)^3+1
  1. Resolva para y:
x-1=27(y+1)^3 Longrightarrow (y+1)^3=x-127 Longrightarrow y+1=raiz[3]x-127 =raiz[3]x-13
Longrightarrow y=raiz[3]x-13-1
Portanto
r^-1(x)=raiz[3]x-13-1

Resposta

f^-1(x)=x3-1
g^-1(x)=x+23
h^-1(x)=raiz[3]x-1
r^-1(x)=raiz[3]x-13-1

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