Exercicio 13. Determine se as seguintes funções são contínuas na origem:
f: R^2 R^2 definida por:
f(x, y)= x^2 y^2x^4+y^4, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x,y)= x^2y^2x^4+y^4,&(x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&(x,y)=(0,0)
é contínua em (0,0). O que precisamos usar é o conceito de limite em duas variáveis e comparar com f(0,0)=0.]

Passo 2

Em R^2, f é contínua em (0,0) se, e somente se,
lim(x,y)to(0,0) f(x,y)=f(0,0)=0
Basta então encontrar um caminho de aproximação cujo limite seja diferente de 0 para concluir descontinuidade.

Passo 3

Escolhemos aproximar pela reta y=x. Então, quando y=xneq0,
f(x,x) =x^2cdot x^2x^4+x^4 =x^42x^4 =12
Logo
limxto0f(x,x)=12

Passo 4

O limite ao longo de y=x é tfrac12neq0, diferente de f(0,0)=0. Isso mostra que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
não existe (ou não coincide com 0), logo f não é contínua em (0,0).

Resposta

A função f não é contínua na origem.

Exercícios relacionados