Exercicio 13. Determine se as seguintes funções são contínuas na origem:
g: R^3 R^3 definida por:
g(x, y, z)= x y z(x^2+y^2-2 z^2)x^2+y^2+z^2, & se (x, y, z) neq(0,0,0) 0, & se (x, y, z)=(0,0,0)

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar se
g(x,y,z)= dfracx y zl(x^2+y^2-2z^2r)x^2+y^2+z^2,& (x,y,z)neq(0,0,0),[1em] 0,&(x,y,z)=(0,0,0)
é contínua em (0,0,0). Em R^n, uma função é contínua num ponto se o seu limite naquele ponto existe e é igual ao valor dado pela definição da função. Aqui precisamos mostrar
lim(x,y,z)to(0,0,0)g(x,y,z)=g(0,0,0)=0 ]

Passo 2

Para estudar o limite, note que ;r=raizx^2+y^2+z^2to0 quando (x,y,z)to(0,0,0). No numerador temos o produto x,y,z e o termo x^2+y^2-2z^2. Vamos estimar cada fator em termos de r.

Passo 3

Primeiro, como |x^2+y^2-2z^2|<= x^2+y^2+2z^2, e x^2+y^2<= r^2, 2z^2<=2r^2, então
|,x^2+y^2-2z^2|<= x^2+y^2+2z^2<=3r^2
Logo, em módulo,
l|x,y,z,(x^2+y^2-2z^2)r| <=3r^2,|x,y,z|

Passo 4

Também valem desigualdades clássicas de produto em R^3:
|x,y,z|;<=;l(|x|+|y|+|z|3r)^3 ;<=;l(raiz3r^23r)^3 =r^33raiz3
Assim
l|x,y,z,(x^2+y^2-2z^2)r|<=3r^2,r^33raiz3 =r^5raiz3

Passo 5

No denominador de g temos x^2+y^2+z^2=r^2. Portanto, para (x,y,z)neq(0,0,0),
|g(x,y,z)| = l|x,y,z,(x^2+y^2-2z^2)r|r^2 <= r^5/raiz3r^2 =r^3raiz3
Como rto0 implica r^3/raiz3to0, pelo Teorema do Confronto (Squeeze Theorem) segue
lim(x,y,z)to(0,0,0)g(x,y,z)=0

Resposta

A função g é contínua na origem, pois lim(x,y,z)to(0,0,0)g(x,y,z)=0=g(0,0,0).

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