Exercicio 13. Determine se as seguintes funções são contínuas na origem: definida por:
Passo 1
O enunciado nos pede para verificar se
g(x,y,z)= dfracx y zl(x^2+y^2-2z^2r)x^2+y^2+z^2,& (x,y,z)neq(0,0,0),[1em] 0,&(x,y,z)=(0,0,0)
é contínua em (0,0,0). Em R^n, uma função é contínua num ponto se o seu limite naquele ponto existe e é igual ao valor dado pela definição da função. Aqui precisamos mostrar
lim(x,y,z)to(0,0,0)g(x,y,z)=g(0,0,0)=0 ]
Passo 2
Para estudar o limite, note que ;r=raizx^2+y^2+z^2to0 quando (x,y,z)to(0,0,0). No numerador temos o produto x,y,z e o termo x^2+y^2-2z^2. Vamos estimar cada fator em termos de r.
Passo 3
Primeiro, como |x^2+y^2-2z^2|<= x^2+y^2+2z^2, e x^2+y^2<= r^2, 2z^2<=2r^2, então
|,x^2+y^2-2z^2|<= x^2+y^2+2z^2<=3r^2
Logo, em módulo,
l|x,y,z,(x^2+y^2-2z^2)r| <=3r^2,|x,y,z|
Passo 4
Também valem desigualdades clássicas de produto em R^3: