Exercício 2.14. Considere o campo
e seja
a parte do hemisfério
que está dentro do cilindro
. Calcule, usando o Teorema de Stokes, o fluxo de rot
através de
, em relação ao campo normal que tem a primeira componente positiva.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
através da parte do hemisfério
contida em
, com o vetor normal cuja primeira componente é positiva. O Teorema de Stokes diz que
onde
é a curva limite de
orientada segundo a regra da mão direita em relação ao normal escolhido.
Passo 2
A curva
é a interseção do hemisfério com o cilindro
. Nesse caso
logo
é o círculo de raio
no plano
. Como o normal tem componente
, olhando do eixo
o contorno deve ser percorrido no sentido anti-horário. Uma parametrização é
Passo 3
Calculamos
e avaliamos
em
.
Em
temos
,
,
, logo
No produto escalar
o primeiro termo de
multiplica zero, ficando
Passo 4
O integral de linha é
Para o primeiro termo, use
,
:
O segundo termo é
Somando, o resultado é
.
Resposta
O fluxo de
através de
é
.