Exercício 2.14. Considere o campo \vec{F}(x, y, z)=\left(x \operatorname{sen}(x z)+e^{y^{5}} z^{3}, y^{2}, 1\right) e seja S a parte do hemisfério x=\sqrt{9-y^{2}-z^{2}} que está dentro do cilindro y^{2}+z^{2}=4. Calcule, usando o Teorema de Stokes, o fluxo de rot \vec{F} através de S, em relação ao campo normal que tem a primeira componente positiva.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \nabla \times \vec{F} através da parte do hemisfério
x = \sqrt{9 - y^2 - z^2}
contida em y^2+z^2=4, com o vetor normal cuja primeira componente é positiva. O Teorema de Stokes diz que
\iint_{S} (\nabla \times \vec{F})\cdot \mathbf{n}\,dS \;=\;\oint_{\partial S}\vec{F}\cdot d\mathbf{r},
onde \partial S é a curva limite de S orientada segundo a regra da mão direita em relação ao normal escolhido.

Passo 2

A curva \partial S é a interseção do hemisfério com o cilindro y^2+z^2=4. Nesse caso
x = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5},
logo \partial S é o círculo de raio 2 no plano x=\sqrt{5}. Como o normal tem componente n_x>0, olhando do eixo +x o contorno deve ser percorrido no sentido anti-horário. Uma parametrização é
\mathbf{r}(\theta)=\bigl(\sqrt{5},\,2\cos\theta,\,2\sin\theta\bigr),\quad 0\le\theta\le2\pi.

Passo 3

Calculamos \mathbf{r}'(\theta) e avaliamos \vec{F} em \mathbf{r}(\theta).
\mathbf{r}'(\theta)=\bigl(0,\,-2\sin\theta,\,2\cos\theta\bigr).
Em \mathbf{r}(\theta) temos x=\sqrt{5}, y=2\cos\theta, z=2\sin\theta, logo
\vec{F}(\mathbf{r}(\theta))=\bigl(\sqrt{5}\,\sin(\sqrt{5}\cdot2\sin\theta)+e^{(2\cos\theta)^5}(2\sin\theta)^3,\;(2\cos\theta)^2,\;1\bigr).
No produto escalar \vec{F}\cdot\mathbf{r}' o primeiro termo de \vec{F} multiplica zero, ficando
\vec{F}\cdot\mathbf{r}'=-2\,(2\cos\theta)^2\sin\theta \;+\;1\cdot2\cos\theta =-8\cos^2\theta\,\sin\theta+2\cos\theta.

Passo 4

O integral de linha é
\oint_{\partial S}\vec{F}\cdot d\mathbf{r} =\int_{0}^{2\pi}\bigl(-8\cos^2\theta\sin\theta+2\cos\theta\bigr)d\theta.
Para o primeiro termo, use u=\cos\theta, du=-\sin\theta\,d\theta:
\int_{0}^{2\pi}\! -8\cos^2\theta\sin\theta\,d\theta =-8\int_{u=\cos0}^{u=\cos2\pi}u^2(-du) =\tfrac{8}{3}\bigl[\cos^3\theta\bigr]_{0}^{2\pi}=0.
O segundo termo é
2\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta=2\bigl[\sin\theta\bigr]_{0}^{2\pi}=0.
Somando, o resultado é 0.

Resposta

O fluxo de \nabla\times\vec{F} através de S é 0.

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