Exercício 12. Dadas as regras de função abaixo, determine domínio:
h(x)=raiz4 x^2-8 x+3x^2-x.

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função
h(x)=raiz4x^2-8x+3x^2-x
Como temos raiz quadrada de um quociente, precisamos garantir duas coisas ao mesmo tempo:
1. O denominador não pode ser zero.
2. O radicando (o que está dentro da raiz) deve ser maior ou igual a zero.

Passo 2

Identificamos o denominador e impomos que ele não zere:
x^2-xneq0
x(x-1)neq0
Logo,
xneq0 e xneq1

Passo 3

Agora fatoramos o numerador para facilitar a análise de sinais.
O numerador é
4x^2-8x+3
O discriminante é
De<a = (-8)^2-4cdot4cdot3 = 64-48 = 16,
cuja raiz é 4. As raízes são
x = 8pm48 = 12,;32
Logo podemos escrever
4x^2-8x+3 = 4,(x-tfrac12),(x-tfrac32)
Então o radicando fica
4x^2-8x+3x^2-x = 4,(x-tfrac12),(x-tfrac32)x,(x-1)

Passo 4

Vamos analisar o sinal do quociente
Q(x)=(x-tfrac12),(x-tfrac32)x,(x-1),
nos intervalos determinados pelos pontos críticos x=0,tfrac12,1,tfrac32.
1. Para x<0, cada fator (x-tfrac12),(x-tfrac32),x,(x-1) tem sinais: –,–,–,–. Produto de quatro negativos dá positivo.
2. Em 0<x<tfrac12, sinais: –,–, +,– to número ímpar de sinais negativos Rightarrow Q(x)<0.
3. Em tfrac12<x<1, sinais: +,–, +,– to dois negativos Rightarrow Q(x)>0.
4. Em 1<x<tfrac32, sinais: +,–, +, +to um negativo Rightarrow Q(x)<0.
5. Para x>tfrac32, sinais: +, +, +, +Rightarrow Q(x)>0.
Além disso, nos zeros do numerador ( x=tfrac12,tfrac32) o quociente vale zero (desde que o denominador não zere aí), o que é permitido na raiz.

Passo 5

Juntando tudo:
  • Excluímos x=0 e x=1.
  • Mantemos onde Q(x)>=0, incluindo zeros do numerador.
    Isso dá os intervalos
(-infty,0)cupl[tfrac12,1r)cupl[tfrac32,inftyr)

Resposta

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