Exercício 12. Dadas as regras de função abaixo, determine domínio:
.
Passo 1
O enunciado pede o domínio da função
Como temos raiz quadrada de um quociente, precisamos garantir duas coisas ao mesmo tempo:
. O denominador não pode ser zero.
. O radicando (o que está dentro da raiz) deve ser maior ou igual a zero.
Passo 2
Identificamos o denominador e impomos que ele não zere:
Logo,
Passo 3
Agora fatoramos o numerador para facilitar a análise de sinais.
O numerador é
O numerador é
O discriminante é
cuja raiz é
. As raízes são
Logo podemos escrever
Então o radicando fica
Passo 4
Vamos analisar o sinal do quociente
nos intervalos determinados pelos pontos críticos
.
. Para
, cada fator
tem sinais: –,–,–,–. Produto de quatro negativos dá positivo.
. Em
, sinais: –,–,
,–
número ímpar de sinais negativos
.
. Em
, sinais:
,–,
,–
dois negativos
.
. Em
, sinais:
,–,
,
um negativo
.
. Para
, sinais:
,
,
,
.
Além disso, nos zeros do numerador ( ) o quociente vale zero (desde que o denominador não zere aí), o que é permitido na raiz.
Além disso, nos zeros do numerador (
Passo 5
Juntando tudo:
- Excluímos
e . - Mantemos onde
, incluindo zeros do numerador.
Isso dá os intervalos