Exercício 12. Dadas as regras de função abaixo, determine domínio:
f(x)=raiza x^2+b x+c, onde a, b, c são números reais fixos e a>0.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=raiza x^2+b x+c
com a,b,cinR fixos e a>0. Para que f(x) exista no conjunto dos reais, é preciso ter
a x^2+b x+c>=0
Logo, nosso conteúdo é resolver a inequação quadrática a x^2+b x+c>=0.

Passo 2

Vamos calcular o discriminante
De<a = b^2-4ac,
e, quando De<a>=0, as raízes reais da equação a x^2+b x+c=0 são
x1=-b-raizDe<a2a, x2=-b+raizDe<a2a,
com x1<= x2.

Passo 3

Se De<a<=0, a parábola y=a x^2+b x+c não muda de sinal (ou toca o eixo x em uma única raiz dupla). Como a>0, temos
a x^2+b x+c>0forall xinR
quando De<a<0, e
a x^2+b x+c>=0forall xinR
quando De<a=0. Portanto, neste caso o domínio de f é
R

Passo 4

Se De<a>0, a parábola corta o eixo x em duas raízes distintas x1<x2. Sabemos que, para a>0,
a x^2+b x+c>=0
quando x está fora do intervalo entre as raízes, isto é,
x<= x1ou x>= x2
Logo, o domínio de f é
(-infty,x1]cup[x2,infty)

Resposta

Se De<a=b^2-4ac<=0, então
Dom(f)=R
Se De<a>0 e
x1=-b-raizDe<a2a, x2=-b+raizDe<a2a,
então
Dom(f)=(-infty,x1]cup[x2,infty)

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