Exercício 5.12.3. Dado o sub-espaço vetorial V=\left[\mathbf{v}_{\mathbf{1}}, \mathbf{v}_{\mathbf{2}}, \mathbf{v}_{\mathbf{3}}\right] \subseteq \mathbb{R}^{4} gerado pelos vetores \mathbf{v}_{\mathbf{1}}=(1,-1,2,2), \mathbf{v}_{\mathbf{2}}= (0,1,0,1), \mathbf{v}_{\mathbf{3}}=(1,0,3,0), dar uma descrição implícita (i.e., como espaço de soluções de um sistema linear homogêneo) e uma descrição explícita exibindo uma base do sub-espaço V^{\perp}. Fazer o mesmo com W=\left[\mathbf{v}_{\mathbf{1}}, \mathbf{v}_{\mathbf{2}}\right] e Z=\left[\mathbf{v}_{\mathbf{3}}\right].

Passo 1

O enunciado pede, para cada um dos subespaços \displaystyle V=[\mathbf v_1,\mathbf v_2,\mathbf v_3], \displaystyle W=[\mathbf v_1,\mathbf v_2] e \displaystyle Z=[\mathbf v_3] em \mathbb R^4, duas coisas:
  1. Uma descrição implícita, isto é, escrever o subespaço como solução de um sistema homogêneo A\mathbf x=0.
  2. Uma descrição explícita dos ortogonais V^\perp, W^\perp e Z^\perp exibindo uma base de cada um.
Conteúdo: espaços ortogonais em \mathbb R^n, resolver sistemas lineares para encontrar complementos ortogonais.

Passo 2

Determinar V^\perp\) e a descrição implícita de \(V\). Impondo \(\mathbf x=(x_1,x_2,x_3,x_4)\) ortogonal a \(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\mathbf v_3\), temos o sistema \[\begin{cases} x_1 - x_2 + 2x_3 + 2x_4 = 0,\\\ x_2 + x_4 = 0,\\\ x_1 + 3x_3 = 0. \end{cases}
Das duas últimas equações vem x_2=-x_4\] e \(x_1=-3x_3. Substituindo na primeira:
(-3x_3)-(-x_4)+2x_3+2x_4=-x_3+3x_4=0 \quad\Longrightarrow\quad x_3=3x_4.
Logo x_4=t livre, x_3=3t, x_2=-t, x_1=-9t.
Portanto
V^\perp=\Span\{(-9,-1,3,1)\}.
Como V é hiperplano (dimensão 3), sua equação implícita é dada pelo vetor normal (-9,-1,3,1):
V=\bigl\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb R^4:-9x_1 - x_2 +3x_3 + x_4=0\}.

Passo 3

Determinar W^\perp\) e a descrição implícita de \(W\). Para \(\mathbf x\perp\mathbf v_1,\mathbf v_2\) escrevemos \[\begin{cases} x_1 - x_2 + 2x_3 + 2x_4 = 0,\\\ x_2 + x_4 = 0. \end{cases}
Da segunda x_2=-x_4\]. Substituindo na primeira: \[x_1+ x_4 +2x_3+2x_4 = x_1 +2x_3+3x_4=0 \quad\Longrightarrow\quad x_1=-2x_3-3x_4.\] Sejam \(s=x_3 e t=x_4. Então
\mathbf x = s\,(-2,0,1,0) \;+\; t\,(-3,-1,0,1),
logo
W^\perp=\Span\{(-2,0,1,0),\,(-3,-1,0,1)\}.
Como \dim W=2, codimensão 2, as duas equações que definem W são as que vêm de anular esses produtos internos:
W=\Bigl\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb R^4: \begin{cases} -2x_1 + x_3 = 0,\\\\ -3x_1 - x_2 + x_4 = 0 \end{cases}\Bigr\}.

Passo 4

Determinar Z^\perp e a descrição implícita de Z.
Para \mathbf x\perp\mathbf v_3=(1,0,3,0) basta
x_1 + 3x_3 = 0.
Isto dá x_1=-3x_3. Com parâmetros u=x_2, v=x_3, w=x_4,
\mathbf x = u\,(0,1,0,0) + v\,(-3,0,1,0) + w\,(0,0,0,1),
então
Z^\perp=\Span\{(0,1,0,0),\,(-3,0,1,0),\,(0,0,0,1)\}.
Como \dim Z=1, codimensão 3, a descrição implícita de Z usa três equações:
Z=\Bigl\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb R^4: \begin{cases} x_2=0,\\\ x_4=0,\\\ x_1 - 3x_3 = 0 \end{cases}\Bigr\}.

Resposta

V: \displaystyle V=\{x\in\mathbb R^4:-9x_1 - x_2 +3x_3 + x_4=0\}, \displaystyle V^\perp=\Span\{(-9,-1,3,1)\}. W: \displaystyle W=\{x\in\mathbb R^4: -2x_1 + x_3 =0,\;-3x_1 - x_2 + x_4 =0\}, \displaystyle W^\perp=\Span\{(-2,0,1,0),\,(-3,-1,0,1)\}. Z: \displaystyle Z=\{x\in\mathbb R^4:x_2=0,\;x_4=0,\;x_1 - 3x_3=0\}, \displaystyle Z^\perp=\Span\{(0,1,0,0),\,(-3,0,1,0),\,(0,0,0,1)\}.

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