Exercício 5.12.3. Dado o sub-espaço vetorial V=\left[\mathbf{v}_{\mathbf{1}}, \mathbf{v}_{\mathbf{2}}, \mathbf{v}_{\mathbf{3}}\right] \subseteq \mathbb{R}^{4} gerado pelos vetores \mathbf{v}_{\mathbf{1}}=(1,-1,2,2), \mathbf{v}_{\mathbf{2}}=(0,1,0,1), \mathbf{v}_{\mathbf{3}}=(1,0,3,0), dar uma descrição implícita (i.e., como espaço de soluções de um sistema linear homogêneo) e uma descrição explícita exibindo uma base do sub-espaço V^{\perp}. Fazer o mesmo com W=\left[\mathbf{v}_{\mathbf{1}}, \mathbf{v}_{\mathbf{2}}\right] e Z=\left[\mathbf{v}_{\mathbf{3}}\right].
Passo 1
O enunciado pede, para cada um dos subespaços \displaystyle V=[\mathbf v_1,\mathbf v_2,\mathbf v_3], \displaystyle W=[\mathbf v_1,\mathbf v_2] e \displaystyle Z=[\mathbf v_3] em \mathbb R^4, duas coisas:
Uma descrição implícita, isto é, escrever o subespaço como solução de um sistema homogêneo A\mathbf x=0.
Uma descrição explícita dos ortogonais V^\perp, W^\perp e Z^\perp exibindo uma base de cada um.
Conteúdo: espaços ortogonais em \mathbb R^n, resolver sistemas lineares para encontrar complementos ortogonais.
Passo 2
Determinar V^\perp\) e a descrição implícita de \(V\).
Impondo \(\mathbf x=(x_1,x_2,x_3,x_4)\) ortogonal a \(\mathbf v_1,\mathbf v_2,\mathbf v_3\), temos o sistema
\[\begin{cases} x_1 - x_2 + 2x_3 + 2x_4 = 0,\\\ x_2 + x_4 = 0,\\\ x_1 + 3x_3 = 0. \end{cases}
Das duas últimas equações vem x_2=-x_4\] e \(x_1=-3x_3. Substituindo na primeira:
Determinar W^\perp\) e a descrição implícita de \(W\).
Para \(\mathbf x\perp\mathbf v_1,\mathbf v_2\) escrevemos
\[\begin{cases} x_1 - x_2 + 2x_3 + 2x_4 = 0,\\\ x_2 + x_4 = 0. \end{cases}
Da segunda x_2=-x_4\]. Substituindo na primeira:
\[x_1+ x_4 +2x_3+2x_4 = x_1 +2x_3+3x_4=0 \quad\Longrightarrow\quad x_1=-2x_3-3x_4.\]
Sejam \(s=x_3 e t=x_4. Então
\mathbf x = s\,(-2,0,1,0) \;+\; t\,(-3,-1,0,1),
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W^\perp=\Span\{(-2,0,1,0),\,(-3,-1,0,1)\}.
Como \dim W=2, codimensão 2, as duas equações que definem W são as que vêm de anular esses produtos internos: