Exercício 5.12.4. Dado o sub-espaço vetorial V=[(1,0,1,0),(0,2,0,0)] \subseteq \mathbb{R}^{4}
a) determinar V^{\perp}, indicando uma base;
b) construir uma base ortonormal \mathcal{B} de V;
c) completar \mathcal{B} à base ortonormal \mathcal{B}^{\prime} de \mathbb{R}^{4}, usando a base de V^{\perp};
d) determinar a projeção ortogonal de \mathbf{w}=(2,-1,3,1) em V e V^{\perp};
e) escrever as componentes do vetor \mathbf{w}=(2,1,0,1) com respeito à base \mathcal{B}^{\prime}.

Passo 1

O enunciado dá o subespaço V\subseteq\mathbb{R}^4 gerado pelos vetores (1,0,1,0) e (0,2,0,0). Vamos
  • determinar o complemento ortogonal V^\perp resolvendo sistemas de equações do produto interno igual a zero;
  • aplicar o processo de Gram–Schmidt para obter uma base ortonormal \mathcal{B} de V;
  • normalizar e acrescentar vetores de V^\perp para completar \mathcal{B} a uma base ortonormal \mathcal{B}' de \mathbb{R}^4;
  • usar as fórmulas de projeção ortogonal para projetar \mathbf w em V e em V^\perp;
  • finalmente, expressar as componentes de outro vetor \mathbf w em relação a \mathcal{B}'.

Passo 2

Para achar V^\perp impomos que (x_1,x_2,x_3,x_4)\in V^\perp satisfaz
(1,0,1,0)\cdot(x_1,x_2,x_3,x_4)=x_1+x_3=0,
(0,2,0,0)\cdot(x_1,x_2,x_3,x_4)=2x_2=0.
Logo x_2=0 e x_3=-x_1, enquanto x_4 é livre. Assim
V^\perp=\Span\{(1,0,-1,0),(0,0,0,1)\}.

Passo 3

Aplicamos Gram–Schmidt aos geradores de V:
v_{1}= (1,0,1,0), v_{2}= (0,2,0,0).
Primeiro
u_1=\frac{v_1}{\|v_1\|}=\frac{(1,0,1,0)}{\sqrt{1^2+1^2}}=\Bigl(\tfrac1{\sqrt2},0,\tfrac1{\sqrt2},0\Bigr).
Como v_2\cdot u_1=0, fica
u_2=\frac{v_2}{\|v_2\|}=\frac{(0,2,0,0)}{\sqrt{2^2}}=(0,1,0,0).
Então \mathcal B=\{u_1,u_2\} é base ortonormal de V.

Passo 4

Já vimos que V^\perp=\Span\{(1,0,-1,0),(0,0,0,1)\} e esses dois vetores são ortogonais entre si. Normalizando:
u_3=\frac{(1,0,-1,0)}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\Bigl(\tfrac1{\sqrt2},0,-\tfrac1{\sqrt2},0\Bigr), \quad u_4=(0,0,0,1).
Então
\mathcal B'=\{u_1,u_2,u_3,u_4\}
é uma base ortonormal de \mathbb{R}^4.

Passo 5

Para \mathbf w=(2,-1,3,1) a projeção em V é
\mathrm{proj}_V\mathbf w =(\mathbf w\cdot u_1)\,u_1+(\mathbf w\cdot u_2)\,u_2 =\frac{5}{\sqrt2}\,u_1+(-1)\,u_2 =(\tfrac52,-1,\tfrac52,0).
E em V^\perp podemos usar \mathbf w-\mathrm{proj}_V\mathbf w ou
(\mathbf w\cdot u_3)\,u_3+(\mathbf w\cdot u_4)\,u_4 =(-\tfrac1{\sqrt2})\,u_3+1\cdot u_4 =(-\tfrac12,0,\tfrac12,1).

Passo 6

Para \mathbf w=(2,1,0,1), as componentes na base \mathcal B' são
c_i=\mathbf w\cdot u_i,
isto é
c_1=\sqrt2,\quad c_2=1,\quad c_3=\sqrt2,\quad c_4=1.

Resposta

a) V^\perp=\Span\{(1,0,-1,0),\,(0,0,0,1)\}. b) \mathcal B=\bigl\{(\tfrac1{\sqrt2},0,\tfrac1{\sqrt2},0),\,(0,1,0,0)\bigr\}. c) \mathcal B'=\bigl\{u_1,u_2,u_3,u_4\bigr\} com
u_1=(\tfrac1{\sqrt2},0,\tfrac1{\sqrt2},0),\; u_2=(0,1,0,0),\; u_3=(\tfrac1{\sqrt2},0,-\tfrac1{\sqrt2},0),\; u_4=(0,0,0,1).
d) Para \mathbf w=(2,-1,3,1), \mathrm{proj}_V\mathbf w=(\tfrac52,-1,\tfrac52,0)
e \mathrm{proj}_{V^\perp}\mathbf w=(-\tfrac12,0,\tfrac12,1). e) As componentes de \mathbf w=(2,1,0,1) em \mathcal B' são
(\sqrt2,\,1,\,\sqrt2,\,1).

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