Exercício 5.12.4. Dado o sub-espaço vetorial
a) determinar
, indicando uma base;
b) construir uma base ortonormal
de
;
c) completar
à base ortonormal
de
, usando a base de
;
d) determinar a projeção ortogonal de
em
e
;
e) escrever as componentes do vetor
com respeito à base
.
a) determinar
b) construir uma base ortonormal
c) completar
d) determinar a projeção ortogonal de
e) escrever as componentes do vetor
Passo 1
O enunciado dá o subespaço
gerado pelos vetores
e
. Vamos
- determinar o complemento ortogonal
resolvendo sistemas de equações do produto interno igual a zero; - aplicar o processo de Gram–Schmidt para obter uma base ortonormal
de ; - normalizar e acrescentar vetores de
para completar a uma base ortonormal de ; - usar as fórmulas de projeção ortogonal para projetar
em e em ; - finalmente, expressar as componentes de outro vetor
em relação a .
Passo 2
Para achar
impomos que
satisfaz
Logo
e
, enquanto
é livre. Assim
Passo 3
Aplicamos Gram–Schmidt aos geradores de
:
=
,
=
.
Primeiro
Primeiro
Como
, fica
Então
é base ortonormal de
.
Passo 4
Já vimos que
e esses dois vetores são ortogonais entre si. Normalizando:
Então
é uma base ortonormal de
.
Passo 5
Para
a projeção em
é
E em
podemos usar
ou
Passo 6
Para
, as componentes na base
são
isto é
Resposta
a)
b)
c)
com
d) Para
,
e e) As componentes de
em
são
e