Exercício 5.12.5. Dados os sub-espaços vetoriais V=[(5,1,3,5),(1,2,3,4)] e W=[(1,2,1,2),(3,0,-1,0)] de \mathbb{R}^{4}
a) determinar uma base e a dimensão de V+W, e estabelecer se esta soma é uma soma direta;
b) estabelecer se V \perp W.

Passo 1

O enunciado dá os subespaços \displaystyle V=\text{span}\{(5,1,3,5),\,(1,2,3,4)\} e \displaystyle W=\text{span}\{(1,2,1,2),\,(3,0,-1,0)\} em \mathbb{R}^4.
Pede-se:
a) base e dimensão de V+W e verificar se é soma direta;
b) verificar se V\perp W.

Passo 2

Para achar \dim(V+W) montamos a matriz cujas linhas são os geradores de V+W:
\begin{pmatrix} 5 & 1 & 3 & 5\\\\ 1 & 2 & 3 & 4\\\\ 1 & 2 & 1 & 2\\\\ 3 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}
Aplicamos eliminação de Gauss:
  1. Troca linha 1↔linha 2 para ter pivô 1: \bigl[\,1\;2\;3\;4\;\bigr]
  2. Zera coluna 1 abaixo:
\begin{aligned} L_2&\to L_2-5L_1=(0,-9,-12,-15),\\\ L_3&\to L_3-1L_1=(0,0,-2,-2),\\\ L_4&\to L_4-3L_1=(0,-6,-10,-12). \end{aligned}
  1. Usa pivô -9 em coluna 2 para zerar abaixo:
L_4\to L_4-\tfrac{2}{3}L_2=(0,0,-2,-2).
Ficamos com três linhas não nulas. Logo
\operatorname{rank}=3 \quad\Longrightarrow\quad \dim(V+W)=3.

Passo 3

Os pivôs vieram das linhas originais correspondentes a (1,2,3,4), (5,1,3,5) e (1,2,1,2).
Portanto uma base conveniente de V+W é
\bigl\{(1,2,3,4),\,(5,1,3,5),\,(1,2,1,2)\bigr\}.

Passo 4

\dim V=2 e \dim W=2, mas \dim(V+W)=3<2+2=4.
Logo V\cap W\neq\{0\} e a soma não é direta.

Passo 5

Para V\perp W seria preciso todo v\in V perpendicular a todo w\in W.
Basta testar geradores:
(5,1,3,5)\cdot(1,2,1,2)=5+2+3+10=20\neq0.
Portanto V não é perpendicular a W.

Resposta

a) \dim(V+W)=3, uma base é \{(1,2,3,4),\,(5,1,3,5),\,(1,2,1,2)\}, e a soma não é direta.
b) V\perp W? Não.

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