Exercício 5.12.2. Dado o vetor
, estabelecer se existe um vetor
tal que:
-
;
- as componentes de
são solução da equação
;
- o angulo entre
e
é
.
Passo 1
O enunciado dá o vetor
e pede um vetor
que satisfaça simultaneamente:
-
; -
; - o ângulo entre
e é .
O conteúdo envolve produto escalar, norma de vetor e relação entre ângulo e produto escalar.
Passo 2
Para o ângulo
entre
e
vale
Como
,
. Além disso
e
. Logo
Passo 3
Escrevendo
em coordenadas, temos
Temos então as duas equações lineares
Subtraindo a segunda da primeira dá
Passo 4
Com
e
segue
. A condição
é
Desenvolvendo,
Passo 5
Da equação
obtemos as soluções
ou
.
Se , então
e
, logo
.
Se , então
e
, logo
.
Se
Se
Resposta
As soluções são
ou
, ambas satisfazendo as três condições.