Exercício 5.12.2. Dado o vetor \mathbf{v}=(1,0,1) \in \mathbb{R}^{3}, estabelecer se existe um vetor \mathbf{w}=(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} tal que:
  1. \|\mathbf{w}\|=1;
  2. as componentes de \mathbf{w} são solução da equação x-y+z=1;
  3. o angulo entre \mathbf{v} e \mathbf{w} é \pi / 4.

Passo 1

O enunciado dá o vetor \mathbf v=(1,0,1)\in\mathbb R^3 e pede um vetor \mathbf w=(x,y,z)\in\mathbb R^3 que satisfaça simultaneamente:
  1. \|\mathbf w\|=1;
  2. x - y + z = 1;
  3. o ângulo entre \mathbf v e \mathbf w é \pi/4.
    O conteúdo envolve produto escalar, norma de vetor e relação entre ângulo e produto escalar.

Passo 2

Para o ângulo \theta entre \mathbf v e \mathbf w vale
\cos\theta = \frac{\mathbf v\cdot\mathbf w}{\|\mathbf v\|\;\|\mathbf w\|}.
Como \theta=\pi/4, \cos(\pi/4)=1/\sqrt2. Além disso \|\mathbf v\|=\sqrt{1^2+0^2+1^2}=\sqrt2 e \|\mathbf w\|=1. Logo
\frac{\mathbf v\cdot\mathbf w}{\sqrt2\cdot1}=\frac1{\sqrt2} \quad\Longrightarrow\quad \mathbf v\cdot\mathbf w=1.

Passo 3

Escrevendo \mathbf v\cdot\mathbf w=1 em coordenadas, temos
(1,0,1)\cdot(x,y,z)=x+z=1.
Temos então as duas equações lineares
\begin{cases} x - y + z = 1,\\\ x + z = 1. \end{cases}
Subtraindo a segunda da primeira dá
(x - y + z)-(x+z)=1-1 \;\Longrightarrow\;-y=0 \;\Longrightarrow\;y=0.

Passo 4

Com y=0 e x+z=1 segue z=1-x. A condição \|\mathbf w\|=1 é
x^2+y^2+z^2=1 \;\Longrightarrow\; x^2+(1-x)^2=1.
Desenvolvendo,
x^2 + (1 - 2x + x^2)=1 \;\Longrightarrow\; 2x^2 -2x +1=1 \;\Longrightarrow\; 2x^2-2x=0 \;\Longrightarrow\; 2x(x-1)=0.

Passo 5

Da equação 2x(x-1)=0 obtemos as soluções x=0 ou x=1.
Se x=0, então y=0 e z=1-0=1, logo \mathbf w=(0,0,1).
Se x=1, então y=0 e z=1-1=0, logo \mathbf w=(1,0,0).

Resposta

As soluções são \mathbf w_1=(1,0,0) ou \mathbf w_2=(0,0,1), ambas satisfazendo as três condições.

Exercícios relacionados