a) Determinar V^{\perp}, dando uma descrição implícita e explícita.
b) Construir uma base ortonormal para V^{\perp}.
Passo 1
O enunciado dá o subespaço \displaystyle V=\Sol(S)\subseteq\R^4\)
onde \(S\) é o sistema
\[\begin{cases} x+2y+t=0,\\\ x - y + z=0. \end{cases}
O que vamos precisar:
Encontrar uma base de V\] para, em seguida, usar a condição de ortogonalidade para determinar \(V^\perp implicitamente.
Obter a descrição explícita de V^\perp como combinação linear de vetores.
Aplicar o processo de Gram–Schmidt para obter uma base ortonormal de V^\perp.
Passo 2
Vamos achar uma base de V\) resolvendo \(S\) em função de parâmetros livres \(z\) e \(t\).
Das equações
\[\begin{cases} x+2y+t=0,\\\ x-y+z=0, \end{cases}
subtraindo a segunda da primeira, temos
(x+2y+t) - (x-y+z) = 0 \;\Longrightarrow\;-2y + t + y - z=0 \;\Longrightarrow\;-y + t - z=0 \;\Longrightarrow\;y=\!z-t.
Em seguida, de x - y + z =0\] vem
\[x = y - z = (z - t) - z = -\,t.\]
Logo
\[(x,y,z,t) = \bigl(-t,\,(z-t),\,z,\,t\bigr) = z\,(0,1,1,0) \;+\; t\,(-1,-1,0,1).\]
Uma base para \(V é, por exemplo,
w_1 = (0,1,1,0), \quad w_2 = (-1,-1,0,1).
Passo 3
Para descrever implicitamente V^\perp\), exigimos que
\[v=(x,y,z,t)\in V^\perp \;\Longrightarrow\; v\cdot w_1=0 \quad\text{e}\quad v\cdot w_2=0.
Isto é,
\begin{cases} (0)x + 1\cdot y +1\cdot z +0\cdot t = 0,\\\ (-1)x +(-1)\cdot y +0\cdot z +1\cdot t = 0, \end{cases}
ou de forma simplificada,
\begin{cases} y+z=0,\\\\ -\,x - y + t=0. \end{cases}
Essa é a descrição implícita de (V^\perp].
Passo 4
Resolvendo o sistema
\begin{cases} y+z=0,\\\\ -\,x - y + t=0, \end{cases}
tomamos z=\alpha e t=\beta como parâmetros livres. Então
y = -\alpha, \quad x = t - y = \beta -(-\alpha) = \alpha + \beta.
Logo
v = (x,y,z,t) = \alpha\,(1,-1,1,0) + \beta\,(1,2,0,1).
Portanto,
V^\perp = \Span\{(1,-1,1,0),\,(1,2,0,1)\}.
Passo 5
Para obter uma base ortonormal, aplicamos Gram–Schmidt aos vetores
v_1=(1,-1,1,0), \quad v_2=(1,2,0,1).
Seja u_1=v_1. \|u_1\|=\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2+0^2}=\sqrt{3}.
Então