Exercício 5.12.6. Dado o sub-espaço vetorial V=\operatorname{Sol}(S) \subseteq \mathbb{R}^{4}, com S sistema linear
\left\{\begin{array}{l} x+2 y+t=0 \\\ x-y+z=0 \end{array}\right.
a) Determinar V^{\perp}, dando uma descrição implícita e explícita.
b) Construir uma base ortonormal para V^{\perp}.

Passo 1

O enunciado dá o subespaço \displaystyle V=\Sol(S)\subseteq\R^4\) onde \(S\) é o sistema \[\begin{cases} x+2y+t=0,\\\ x - y + z=0. \end{cases}
O que vamos precisar:
  1. Encontrar uma base de V\] para, em seguida, usar a condição de ortogonalidade para determinar \(V^\perp implicitamente.
  2. Obter a descrição explícita de V^\perp como combinação linear de vetores.
  3. Aplicar o processo de Gram–Schmidt para obter uma base ortonormal de V^\perp.

Passo 2

Vamos achar uma base de V\) resolvendo \(S\) em função de parâmetros livres \(z\) e \(t\). Das equações \[\begin{cases} x+2y+t=0,\\\ x-y+z=0, \end{cases}
subtraindo a segunda da primeira, temos
(x+2y+t) - (x-y+z) = 0 \;\Longrightarrow\;-2y + t + y - z=0 \;\Longrightarrow\;-y + t - z=0 \;\Longrightarrow\;y=\!z-t.
Em seguida, de x - y + z =0\] vem \[x = y - z = (z - t) - z = -\,t.\] Logo \[(x,y,z,t) = \bigl(-t,\,(z-t),\,z,\,t\bigr) = z\,(0,1,1,0) \;+\; t\,(-1,-1,0,1).\] Uma base para \(V é, por exemplo,
w_1 = (0,1,1,0), \quad w_2 = (-1,-1,0,1).

Passo 3

Para descrever implicitamente V^\perp\), exigimos que \[v=(x,y,z,t)\in V^\perp \;\Longrightarrow\; v\cdot w_1=0 \quad\text{e}\quad v\cdot w_2=0.
Isto é,
\begin{cases} (0)x + 1\cdot y +1\cdot z +0\cdot t = 0,\\\ (-1)x +(-1)\cdot y +0\cdot z +1\cdot t = 0, \end{cases}
ou de forma simplificada,
\begin{cases} y+z=0,\\\\ -\,x - y + t=0. \end{cases}
Essa é a descrição implícita de (V^\perp].

Passo 4

Resolvendo o sistema
\begin{cases} y+z=0,\\\\ -\,x - y + t=0, \end{cases}
tomamos z=\alpha e t=\beta como parâmetros livres. Então
y = -\alpha, \quad x = t - y = \beta -(-\alpha) = \alpha + \beta.
Logo
v = (x,y,z,t) = \alpha\,(1,-1,1,0) + \beta\,(1,2,0,1).
Portanto,
V^\perp = \Span\{(1,-1,1,0),\,(1,2,0,1)\}.

Passo 5

Para obter uma base ortonormal, aplicamos Gram–Schmidt aos vetores
v_1=(1,-1,1,0), \quad v_2=(1,2,0,1).
  1. Seja u_1=v_1.
    \|u_1\|=\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2+0^2}=\sqrt{3}.
    Então
e_1 = \frac{u_1}{\|u_1\|} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1,-1,1,0).
  1. Subtraímos de v_2 a projeção em u_1:
\proj_{u_1}(v_2) = \frac{v_2\cdot u_1}{u_1\cdot u_1}\,u_1 = \frac{(1,-\!1,0,1)\cdot(1,-\!1,1,0)}{3}\,(1,-1,1,0) = \frac{2}{3}(1,-1,1,0).
Logo
u_2 = v_2 - \proj_{u_1}(v_2) = (1,2,0,1) - \tfrac{2}{3}(1,-1,1,0) = \bigl(\tfrac{1}{3},\,\tfrac{8}{3},\,-\tfrac{2}{3},\,1\bigr).
Seu comprimento é
\|u_2\| = \sqrt{\tfrac{1}{9} + \tfrac{64}{9} + \tfrac{4}{9} +1} = \sqrt{\tfrac{69}{9} + \tfrac{9}{9}} = \sqrt{\tfrac{78}{9}} = \sqrt{\tfrac{26}{3}} = \frac{\sqrt{78}}{3}.
Assim
e_2 = \frac{u_2}{\|u_2\|} = \frac{3}{\sqrt{78}}\, \bigl(\tfrac{1}{3},\,\tfrac{8}{3},\,-\tfrac{2}{3},\,1\bigr) = \frac{1}{\sqrt{78}}\,(1,8,-2,3).
Portanto uma base ortonormal de V^\perp é
\biggl\{ \frac{1}{\sqrt{3}}(1,-1,1,0), \quad \frac{1}{\sqrt{78}}(1,8,-2,3) \biggr\}.

Resposta

a) Implicitamente,
V^\perp = \bigl\{(x,y,z,t)\in\R^4 \mid y+z=0,\;-x-y+t=0\bigr\}.
Explicitamente,
V^\perp = \Span\{(1,-1,1,0),\,(1,2,0,1)\}.
b) Uma base ortonormal de V^\perp é
\frac{1}{\sqrt{3}}(1,-1,1,0), \quad \frac{1}{\sqrt{78}}(1,8,-2,3).

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