Exercício 5.12.7. Seja V=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x+y-z=0\right\}.
a) Determinar uma base para V.
b) Determinar V^{\perp}, dando uma descrição implícita e explícita.
c) Construir una base ortonormal \mathcal{B} para V^{\perp}.
d) Completar \mathcal{B} à base ortonormal de \mathbb{R}^{3}, usando a base de V.
e) Determinar a projeção ortogonal de \mathbf{w}=(1,1,1) em V^{\perp}.
f) Determinar o vetor simétrico de \mathbf{w}=(1,1,1) com respeito a V^{\perp}.

Passo 1

O enunciado define o subespaço
V=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x+y-z=0\}
e pede (a) uma base de V, (b) descrição de V^\perp (implícita e explícita), (c) base ortonormal de V^\perp, (d) completar essa base a uma base ortonormal de \mathbb R^3 usando V, (e) projeção ortogonal de \mathbf w=(1,1,1) em V^\perp e (f) o vetor simétrico de \mathbf w em relação a V^\perp. Vamos usar conceitos de combinação linear, complemento ortogonal, normalização e projeção.

Passo 2

Para achar uma base de V resolvemos x+y-z=0\iff z=x+y. Tomamos parâmetros x=s, y=t, então
(x,y,z)=(s,t,s+t)=s\,(1,0,1)+t\,(0,1,1).
Logo uma base de V é
\{(1,0,1),\;(0,1,1)\}.

Passo 3

O complemento ortogonal V^\perp é o conjunto de vetores ortogonais a todos de V. Como V vem da equação x+y-z=0, o vetor normal é n=(1,1,-1).
– Descrição implícita:
V^\perp=\{(x,y,z)\mid x-y=0,\;x+z=0\}.
– Descrição explícita:
V^\perp=\{t\,(1,1,-1)\mid t\in\mathbb R\}.

Passo 4

Para ter uma base ortonormal de V^\perp basta normalizar n. Como \|n\|=\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}=\sqrt3,
u_3=\frac{1}{\sqrt3}\,(1,1,-1)
é a base ortonormal de V^\perp.

Passo 5

Agora completamos \{u_3\} a uma base ortonormal de \mathbb R^3 usando a base de V. Aplicamos Gram–Schmidt em \,v_1=(1,0,1) e v_2=(0,1,1):
  1. u_1=v_1/\|v_1\|=(1,0,1)/\sqrt2.
  2. v_2'=v_2-(u_1\cdot v_2)u_1=(0,1,1)-\tfrac{1}{2}(1,0,1)=(-\tfrac12,1,\tfrac12).
  3. \|v_2'\|=\sqrt{\tfrac14+1+\tfrac14}=\sqrt{\tfrac32}, então
u_2=\frac{v_2'}{\|v_2'\|}=\frac{-1,2,1}{\sqrt6}.
Assim uma base ortonormal de \mathbb R^3 é
\{u_1,u_2,u_3\} =\Bigl\{\tfrac1{\sqrt2}(1,0,1),\;\tfrac1{\sqrt6}(-1,2,1),\;\tfrac1{\sqrt3}(1,1,-1)\Bigr\}.

Passo 6

Para a projeção ortogonal de \mathbf w=(1,1,1) em V^\perp=\mathrm{span}\{u_3\} temos
\mathrm{proj}_{V^\perp}(\mathbf w) =(\mathbf w\cdot u_3)\,u_3 =\frac{1+1-1}{\sqrt3}\;u_3 =\frac{1}{\sqrt3}\;u_3 =\frac{1}{3}(1,1,-1).

Passo 7

O vetor simétrico de \mathbf w em relação à reta V^\perp é a reflexão de \mathbf w nessa reta, dada por
\mathbf w' =2\,\mathrm{proj}_{V^\perp}(\mathbf w)\;-\;\mathbf w =2\cdot\frac{1}{3}(1,1,-1)\;-\;(1,1,1) =\bigl(-\tfrac13,-\tfrac13,-\tfrac53\bigr).

Resposta

a) Uma base de V é \{(1,0,1),\,(0,1,1)\}.
b)
– Implícita: V^\perp=\{(x,y,z)\mid x-y=0,\;x+z=0\}.
– Explícita: V^\perp=\{t(1,1,-1)\mid t\in\mathbb R\}.
c) Base ortonormal de V^\perp: \bigl\{\tfrac1{\sqrt3}(1,1,-1)\bigr\}.
d) Completando a base ortonormal de \mathbb R^3:
\Bigl\{\tfrac1{\sqrt2}(1,0,1),\;\tfrac1{\sqrt6}(-1,2,1),\;\tfrac1{\sqrt3}(1,1,-1)\Bigr\}.
e) \mathrm{proj}_{V^\perp}(1,1,1)=(\tfrac13,\tfrac13,-\tfrac13).
f) O simétrico de (1,1,1) em relação a V^\perp é \bigl(-\tfrac13,-\tfrac13,-\tfrac53\bigr).

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