Exercício 5.12.7. Seja
.
a) Determinar uma base para
.
b) Determinar
, dando uma descrição implícita e explícita.
c) Construir una base ortonormal
para
.
d) Completar
à base ortonormal de
, usando a base de
.
e) Determinar a projeção ortogonal de
em
.
f) Determinar o vetor simétrico de
com respeito a
.
a) Determinar uma base para
b) Determinar
c) Construir una base ortonormal
d) Completar
e) Determinar a projeção ortogonal de
f) Determinar o vetor simétrico de
Passo 1
O enunciado define o subespaço
e pede (a) uma base de
, (b) descrição de
(implícita e explícita), (c) base ortonormal de
, (d) completar essa base a uma base ortonormal de
usando
, (e) projeção ortogonal de
em
e (f) o vetor simétrico de
em relação a
. Vamos usar conceitos de combinação linear, complemento ortogonal, normalização e projeção.
Passo 2
Para achar uma base de
resolvemos
. Tomamos parâmetros
,
, então
Logo uma base de
é
Passo 3
O complemento ortogonal
é o conjunto de vetores ortogonais a todos de
. Como
vem da equação
, o vetor normal é
.
– Descrição implícita:
– Descrição implícita:
– Descrição explícita:
Passo 4
Para ter uma base ortonormal de
basta normalizar
. Como
,
é a base ortonormal de
.
Passo 5
Agora completamos
a uma base ortonormal de
usando a base de
. Aplicamos Gram–Schmidt em
e
:
-
. -
. -
, então
Assim uma base ortonormal de
é
Passo 6
Para a projeção ortogonal de
em
temos
Passo 7
O vetor simétrico de
em relação à reta
é a reflexão de
nessa reta, dada por
Resposta
a) Uma base de
é
.
b)
– Implícita: .
– Explícita: .
c) Base ortonormal de :
.
d) Completando a base ortonormal de :
b)
– Implícita:
– Explícita:
c) Base ortonormal de
d) Completando a base ortonormal de
e)
.
f) O simétrico de em relação a
é
.
f) O simétrico de