Exercício 1.12. Determine se as séries convergem ou divergem:
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado dá a série de termos positivos
e pede apenas para determinar se essa série converge ou diverge. Informações relevantes que temos:
- O termo geral é
. - Todos os termos são positivos (
para todo ). - É pedido apenas a decisão convergência/divergência.
Passo 2
Escolha do método (explicação didática): para séries de termos positivos costuma-se usar testes de comparação com séries conhecidas. A candidata natural aqui é a série harmônica
, porque heurística simples: para
grande,
é da ordem de
, então
deve ter comportamento parecido com
. A série harmônica diverge, então se conseguirmos comparar rigorosamente com ela (via teste da comparação ou teste da comparação por limite) teremos a resposta.
Vou usar o Teste da Comparação por Limite porque é direto e elegante. Antes, explico o que é esse teste.
Passo 3
Enunciado do Teste da Comparação por Limite (explicação didática): sejam
e
. Se
existir e
, então
e
têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem, ou ambas divergem. Intuição: se
é assintoticamente constante vezes
, as séries se comportam da mesma forma.
Aqui tomamos
Passo 4
Cálculo do limite do quociente (mostrando cada passo):
Agora simplifico a expressão escrevendo como raiz:
Tomando o limite quando
:
Portanto
, que satisfaz
.
Passo 5
Conclusão pelo Teste da Comparação por Limite: como
e sabe-se que a série harmônica
diverge (é o caso
da série
), segue que a série
também diverge.
Observação extra (forma alternativa e simples): nota-se também que, para todo
,
pois isso equivale a
, o que é verdade. Assim
, e a segunda é a série harmônica (com índice deslocado), que diverge — outra forma direta de ver a divergência.
Resposta
Diverge.