Exercício 1.12. Determine se as séries convergem ou divergem:
(c) \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 2}}+\frac{1}{\sqrt{2 \cdot 3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n \cdot(n+1)}}+\cdots

Passo 1

O enunciado dá a série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}
e pede apenas para determinar se essa série converge ou diverge. Informações relevantes que temos:
  • O termo geral é \displaystyle a_n=\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}.
  • Todos os termos são positivos ( a_n>0 para todo n).
  • É pedido apenas a decisão convergência/divergência.

Passo 2

Escolha do método (explicação didática): para séries de termos positivos costuma-se usar testes de comparação com séries conhecidas. A candidata natural aqui é a série harmônica \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}, porque heurística simples: para n grande, \sqrt{n(n+1)} é da ordem de n, então \frac{1}{\sqrt{n(n+1)}} deve ter comportamento parecido com \frac{1}{n}. A série harmônica diverge, então se conseguirmos comparar rigorosamente com ela (via teste da comparação ou teste da comparação por limite) teremos a resposta.
Vou usar o Teste da Comparação por Limite porque é direto e elegante. Antes, explico o que é esse teste.

Passo 3

Enunciado do Teste da Comparação por Limite (explicação didática): sejam a_n>0 e b_n>0. Se
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}
existir e 0<L<\infty, então \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem, ou ambas divergem. Intuição: se a_n é assintoticamente constante vezes b_n, as séries se comportam da mesma forma.
Aqui tomamos
a_n=\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}},\qquad b_n=\frac{1}{n}.

Passo 4

Cálculo do limite do quociente (mostrando cada passo):
\frac{a_n}{b_n} = \frac{\dfrac{1}{\sqrt{n(n+1)}}}{\dfrac{1}{n}} = \frac{n}{\sqrt{n(n+1)}}.
Agora simplifico a expressão escrevendo como raiz:
\frac{n}{\sqrt{n(n+1)}}=\sqrt{\frac{n^2}{n(n+1)}}=\sqrt{\frac{n}{\,n+1\,}}.
Tomando o limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\sqrt{\frac{n}{\,n+1\,}}=\sqrt{\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\,n+1\,}}=\sqrt{1}=1.
Portanto L=1, que satisfaz 0<L<\infty.

Passo 5

Conclusão pelo Teste da Comparação por Limite: como L=1 e sabe-se que a série harmônica \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} diverge (é o caso p=1 da série \sum 1/n^p), segue que a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}} também diverge.
Observação extra (forma alternativa e simples): nota-se também que, para todo n,
\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}} \ge \frac{1}{n+1},
pois isso equivale a (n+1)^2 \ge n(n+1), o que é verdade. Assim \sum \frac{1}{\sqrt{n(n+1)}} \ge \sum \frac{1}{n+1}, e a segunda é a série harmônica (com índice deslocado), que diverge — outra forma direta de ver a divergência.

Resposta

Diverge.

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