Exercício 1.13. Determine se as séries convergem ou divergem.
(e)
(e)
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. As informações que temos são:
- O termo geral é
. - Todos os termos são positivos (
para todo ). - Não há outras condições num enunciado; a decisão é sobre convergência da soma infinita dos
.
Passo 2
Lembra do que é uma série geométrica e quando ela converge? Uma série geométrica tem a forma
onde
é a constante razão. Essa série converge exatamente quando
; neste caso seu valor é
(ou, se começar em
, é
). Em particular, a série
é geométrica com razão
, tem
e portanto converge.
Isso é útil porque séries geométricas servem muitas vezes como comparador simples — se conseguimos mostrar que os termos da nossa série são menores que os termos de uma geométrica convergente a partir de algum índice, então nossa série também converge.
Passo 3
Agora uma pequena aula sobre o Teste da Comparação (caso direto), que é o que vamos usar:
- Se
e são sequências de termos não negativos e existe tal que para todo , então - se
converge, então também converge; - se
diverge, então também diverge.
Aqui basta aplicar a primeira parte: compararmos com uma série convergente.
- se
Passo 4
Vamos comparar os termos
com os termos da geométrica
.
Para
vale
, logo
Como
e a função
é monótona crescente em
para
fixo positivo, ao elevar ambos os lados à potência
obtemos
Portanto, para todo
,
Passo 5
Aplicando o Teste da Comparação: a série geométrica
converge (razão
). Como para
temos
, segue que a cauda
converge. Somando o primeiro termo
(que é finito), concluímos que a série inteira
converge.
Passo 6
Observação alternativa (curta): pode-se também aplicar o Teste da Raiz (Cauchy). Para
temos
e
. Pelo teste da raiz, a série converge absolutamente. Isso confirma o resultado anterior e mostra que os termos tendem a zero muito rápido.
Resposta
Converge (convergência absoluta).