Exercício 1.13. Determine se as séries convergem ou divergem.
(e) \quad 1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{3}}+\cdots+\frac{1}{n^{n}}+\cdots

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{n}}
converge ou diverge. As informações que temos são:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{1}{n^{n}}.
  • Todos os termos são positivos ( a_n>0 para todo n).
  • Não há outras condições num enunciado; a decisão é sobre convergência da soma infinita dos a_n.

Passo 2

Lembra do que é uma série geométrica e quando ela converge? Uma série geométrica tem a forma
\sum_{n=0}^{\infty} r^{n},
onde r é a constante razão. Essa série converge exatamente quando |r|<1; neste caso seu valor é \dfrac{1}{1-r} (ou, se começar em n=1, é \dfrac{r}{1-r}). Em particular, a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}
é geométrica com razão r=\dfrac{1}{2}, tem |r|<1 e portanto converge.
Isso é útil porque séries geométricas servem muitas vezes como comparador simples — se conseguimos mostrar que os termos da nossa série são menores que os termos de uma geométrica convergente a partir de algum índice, então nossa série também converge.

Passo 3

Agora uma pequena aula sobre o Teste da Comparação (caso direto), que é o que vamos usar:
  • Se (a_n) e (b_n) são sequências de termos não negativos e existe N tal que 0\le a_n\le b_n para todo n\ge N, então
    • se \sum b_n converge, então \sum a_n também converge;
    • se \sum a_n diverge, então \sum b_n também diverge.
      Aqui basta aplicar a primeira parte: compararmos com uma série convergente.

Passo 4

Vamos comparar os termos a_n=\dfrac{1}{n^{n}}=\left(\dfrac{1}{n}\right)^{n} com os termos da geométrica \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}.
Para n\ge 2 vale n\ge 2, logo
\frac{1}{n}\le\frac{1}{2}.
Como 0<\dfrac{1}{n}\le\dfrac{1}{2}<1 e a função x\mapsto x^{n} é monótona crescente em (0,1) para n fixo positivo, ao elevar ambos os lados à potência n obtemos
\left(\frac{1}{n}\right)^{n}\le\left(\frac{1}{2}\right)^{n}.
Portanto, para todo n\ge 2,
\frac{1}{n^{n}}\le\left(\frac{1}{2}\right)^{n}.

Passo 5

Aplicando o Teste da Comparação: a série geométrica \sum_{n=2}^{\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n} converge (razão \dfrac{1}{2}). Como para n\ge 2 temos \dfrac{1}{n^{n}}\le\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}, segue que a cauda
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{n}}
converge. Somando o primeiro termo a_1=\dfrac{1}{1^{1}}=1 (que é finito), concluímos que a série inteira
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{n}}
converge.

Passo 6

Observação alternativa (curta): pode-se também aplicar o Teste da Raiz (Cauchy). Para a_n=\dfrac{1}{n^{n}} temos
\sqrt[n]{a_n}=\sqrt[n]{\frac{1}{n^{n}}}=\frac{1}{n},
e \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}=0<1. Pelo teste da raiz, a série converge absolutamente. Isso confirma o resultado anterior e mostra que os termos tendem a zero muito rápido.

Resposta

Converge (convergência absoluta).

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