Exercício 1.12. Determine se as séries convergem ou divergem:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
converge ou diverge. As informações que temos são:
- O termo geral é
. - O módulo do termo é
. - A série é alternada (os sinais trocam de sinal a cada termo), mas isso não é suficiente por si só para concluir convergência.
Passo 2
Regra necessária para convergência (teste do termo geral):
- Teorema: Se a série
converge, então o termo geral tende a zero, isto é . - Pequena explicação intuitiva: se
converge para algum , então Portanto, antes de aplicar qualquer teste mais sofisticado, sempre cheque se . Se não for zero, a série diverge imediatamente.
Passo 3
Calcular o limite do módulo dos termos para ver se vai a zero:
- Observe que
. Então - Como
, ao exponenciar obtemos - Logo o módulo do termo tende a
Passo 4
Interpretação do resultado:
- Encontramos
. Como o módulo não tende a zero, o próprio não pode tender a zero (ele oscila entre sinais com módulo aproximando-se de ). - Pelo teste do termo geral visto no Passo 2, se
a série diverge. - Portanto não faz falta aplicar o critério de séries alternadas (Leibniz): um dos requisitos básicos (termos com módulo decrescente tendendo a zero) já falha no ponto essencial
.
Passo 5
Conclusão e observação final:
- A série é divergente porque o termo geral não tende a zero; na verdade
, logo a exigência necessária para convergência não é satisfeita.
Resposta
A série diverge.