Exercício 1.12. Determine se as séries convergem ou divergem:
(b) \quad \frac{1}{\sqrt{10}}-\frac{1}{\sqrt[3]{10}}+\cdots+\frac{(-1)^{n}}{\sqrt[n]{10}}+\cdots

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\frac{1}{\sqrt{10}}-\frac{1}{\sqrt[3]{10}}+\cdots+\frac{(-1)^{n}}{\sqrt[n]{10}}+\cdots
converge ou diverge. As informações que temos são:
  • O termo geral é u_n=\dfrac{(-1)^{n}}{\sqrt[n]{10}}.
  • O módulo do termo é b_n=\dfrac{1}{\sqrt[n]{10}}.
  • A série é alternada (os sinais trocam de sinal a cada termo), mas isso não é suficiente por si só para concluir convergência.

Passo 2

Regra necessária para convergência (teste do termo geral):
  • Teorema: Se a série \sum_{n=1}^\infty u_n converge, então o termo geral tende a zero, isto é \lim_{n\to\infty} u_n = 0.
  • Pequena explicação intuitiva: se s_n=\sum_{k=1}^n u_k converge para algum S, então u_n = s_n - s_{n-1} \to S-S = 0.Portanto, antes de aplicar qualquer teste mais sofisticado, sempre cheque se u_n\to0. Se não for zero, a série diverge imediatamente.

Passo 3

Calcular o limite do módulo dos termos para ver se vai a zero:
  • Observe que \sqrt[n]{10}=10^{1/n}. Então \ln\!\left(\sqrt[n]{10}\right)=\ln\!\left(10^{1/n}\right)=\frac{1}{n}\ln 10.
  • Como \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}\ln 10 = 0, ao exponenciar obtemos \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{10}=e^{0}=1.
  • Logo o módulo do termo tende a \lim_{n\to\infty} b_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{10}}=\frac{1}{1}=1.

Passo 4

Interpretação do resultado:
  • Encontramos \lim_{n\to\infty} |u_n| = 1. Como o módulo não tende a zero, o próprio u_n não pode tender a zero (ele oscila entre sinais com módulo aproximando-se de 1).
  • Pelo teste do termo geral visto no Passo 2, se u_n\not\to0 a série \sum u_n diverge.
  • Portanto não faz falta aplicar o critério de séries alternadas (Leibniz): um dos requisitos básicos (termos com módulo decrescente tendendo a zero) já falha no ponto essencial u_n\to0.

Passo 5

Conclusão e observação final:
  • A série é divergente porque o termo geral não tende a zero; na verdade |u_n|\to1, logo a exigência necessária para convergência não é satisfeita.

Resposta

A série diverge.

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