Exercício 12. Efetue as operações abaixo:
\frac{1}{4-\sqrt{7}}+\frac{2}{4+\sqrt{7}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma
\frac{1}{4-\sqrt{7}}+\frac{2}{4+\sqrt{7}}.
Informações relevantes dadas: os denominadores contêm a raiz \sqrt{7}. O objetivo é obter uma forma simplificada e com denominador racional (se possível).

Passo 2

Estratégia: colocar as frações sobre um mesmo denominador usando o produto dos denominadores. Note que os denominadores são conjugados: 4-\sqrt{7} e 4+\sqrt{7}. A propriedade importante é:
(4-\sqrt{7})(4+\sqrt{7})=4^{2}-(\sqrt{7})^{2},
ou seja, o produto de conjugados elimina a raiz e dá um número racional. Essa é a razão pela qual é útil usar o produto como denominador comum.

Passo 3

Calcular o denominador comum usando a identidade acima:
(4-\sqrt{7})(4+\sqrt{7})=16-7=9.
Agora escrevemos cada fração com esse denominador comum:
\frac{1}{4-\sqrt{7}}+\frac{2}{4+\sqrt{7}} =\frac{1(4+\sqrt{7})+2(4-\sqrt{7})}{(4-\sqrt{7})(4+\sqrt{7})}.

Passo 4

Desenvolver e somar os numeradores passo a passo:
1(4+\sqrt{7})+2(4-\sqrt{7})=4+\sqrt{7}+8-2\sqrt{7}.
Agrupando termos semelhantes:
4+8=12,\qquad \sqrt{7}-2\sqrt{7}=-\sqrt{7},
logo o numerador fica 12-\sqrt{7}. Portanto
\frac{1}{4-\sqrt{7}}+\frac{2}{4+\sqrt{7}}=\frac{12-\sqrt{7}}{9}.

Passo 5

Opcional: escrever a resposta em duas parcelas (às vezes mais claro para avaliar):
\frac{12-\sqrt{7}}{9}=\frac{12}{9}-\frac{\sqrt{7}}{9}=\frac{4}{3}-\frac{1}{9}\sqrt{7}.
Ambas as formas são equivalentes; a primeira tem denominador inteiro único.

Resposta

\dfrac{12-\sqrt{7}}{9}

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