Exercício 13 Transforme as sentenças abertas abaixo em sentenças sem usar os quantificadores universal e existencial: \left|6 u-u^{4}\right|+u=\frac{1}{98} u^{3} \sin u.
Passo 1
O enunciado pede: transformar a sentença aberta
\left|6u-u^{4}\right|+u=\frac{1}{98}u^{3}\sin u
em uma sentença (fechada) sem quantificadores. Ou seja, encontrar todos os valores de u (assumindo u\in\mathbb{R}) que tornam a igualdade verdadeira e então escrever a sentença que afirma exatamente esses valores.
Informações dadas:
A expressão a ser satisfeita é \left|6u-u^{4}\right|+u=\dfrac{1}{98}u^{3}\sin u.
A variável livre é u e estamos trabalhando sobre os números reais.
Passo 2
Estratégia escolhida (sem usar quantificadores): resolver a equação para obter todas as soluções reais e, em seguida, escrever uma sentença afirmando quais são essas soluções. Vou resolver a equação estudando casos (pela presença do valor absoluto e do sinal de u) e usando desigualdades úteis (como |\sin u|\le 1) para eliminar possibilidades.
Passo 3
Verificar imediatamente u=0. Substituindo u=0 na equação:
Portanto qualquer possível solução positiva deve satisfazer u\ge\sqrt{98}.
Passo 5
Continuar a análise para u>0. Observe que, se u^{3}\le 6 (isto é, 0<u\le\sqrt[3]{6}\approx1,817), então |6-u^{3}|=6-u^{3} e o lado esquerdo é 7-u^{3}\ge 7-6=1. Mas o lado direito tem módulo no máximo \dfrac{1}{98}u^{2}\le\dfrac{1}{98}(\sqrt[3]{6})^{2}\approx 0,034, que é estritamente menor que 1. Logo não há solução em (0,\sqrt[3]{6}].
Se u>\sqrt[3]{6} então |6-u^{3}|=u^{3}-6 e o lado esquerdo é u^{3}-5. Defina a função
Como h é crescente, h(u)>0 para todo u\ge\sqrt[3]{6}. Portanto para todo u>\sqrt[3]{6} temos u^{3}-5>\dfrac{1}{98}u^{2}, o que impede a igualdade u^{3}-5=\dfrac{1}{98}u^{2}\sin u (porque o lado direito está entre -\dfrac{1}{98}u^{2} e \dfrac{1}{98}u^{2}). Assim não há soluções em (\sqrt[3]{6},\infty).
Combinando com a ausência de soluções em (0,\sqrt[3]{6}], concluímos que não existe solução positiva além de u=0.
Passo 6
Analisar o caso u<0. Faço a substituição u=-t com t>0. Então
logo k é crescente para todos os t>0. Em particular, em t=\sqrt{490} o valor k(t) é já grande e positivo (pois t^{3} domina). Assim k(t)>0 para todo t\ge\sqrt{490}, o que implica
t^{3}+5>\frac{1}{98}t^{2}\quad\text{para todo }t\ge\sqrt{490}.
Portanto não existe t\ge\sqrt{490} que satisfaça t^{3}+5=\dfrac{1}{98}t^{2}\sin t (o lado direito tem magnitude no máximo \dfrac{1}{98}t^{2}). Logo não há soluções com u<0 além de u=0.
Passo 8
Conclusão do raciocínio: examinamos todas as possibilidades — u=0, u>0 e u<0 — e vimos que a única solução real da equação é u=0. Assim a sentença aberta foi transformada na sentença fechada que afirma que u é igual a 0.