Exercício 13 Transforme as sentenças abertas abaixo em sentenças sem usar os quantificadores universal e existencial:
\left|6 u-u^{4}\right|+u=\frac{1}{98} u^{3} \sin u.

Passo 1

O enunciado pede: transformar a sentença aberta
\left|6u-u^{4}\right|+u=\frac{1}{98}u^{3}\sin u
em uma sentença (fechada) sem quantificadores. Ou seja, encontrar todos os valores de u (assumindo u\in\mathbb{R}) que tornam a igualdade verdadeira e então escrever a sentença que afirma exatamente esses valores.
Informações dadas:
  • A expressão a ser satisfeita é \left|6u-u^{4}\right|+u=\dfrac{1}{98}u^{3}\sin u.
  • A variável livre é u e estamos trabalhando sobre os números reais.

Passo 2

Estratégia escolhida (sem usar quantificadores): resolver a equação para obter todas as soluções reais e, em seguida, escrever uma sentença afirmando quais são essas soluções. Vou resolver a equação estudando casos (pela presença do valor absoluto e do sinal de u) e usando desigualdades úteis (como |\sin u|\le 1) para eliminar possibilidades.

Passo 3

Verificar imediatamente u=0. Substituindo u=0 na equação:
\left|6\cdot0-0^{4}\right|+0 = 0 \qquad\text{e}\qquad \dfrac{1}{98}\,0^{3}\sin0 = 0.
Portanto u=0 satisfaz a equação. Logo u=0 é uma solução.

Passo 4

Analisar o caso u>0. Para u>0 temos |6u-u^{4}|=u\,|6-u^{3}|. Dividindo a equação original por u>0 obtemos
|6-u^{3}|+1=\frac{1}{98}u^{2}\sin u.
Do lado direito temos, pela desigualdade |\sin u|\le 1,
\left|\frac{1}{98}u^{2}\sin u\right|\le\frac{1}{98}u^{2}.
Do lado esquerdo temos |6-u^{3}|+1\ge 1. Para que exista u>0 com igualdade, é necessário ter
\frac{1}{98}u^{2}\ge 1\quad\Longrightarrow\quad u^{2}\ge 98\quad\Longrightarrow\quad u\ge\sqrt{98}\approx 9,899.
Portanto qualquer possível solução positiva deve satisfazer u\ge\sqrt{98}.

Passo 5

Continuar a análise para u>0. Observe que, se u^{3}\le 6 (isto é, 0<u\le\sqrt[3]{6}\approx1,817), então |6-u^{3}|=6-u^{3} e o lado esquerdo é 7-u^{3}\ge 7-6=1. Mas o lado direito tem módulo no máximo \dfrac{1}{98}u^{2}\le\dfrac{1}{98}(\sqrt[3]{6})^{2}\approx 0,034, que é estritamente menor que 1. Logo não há solução em (0,\sqrt[3]{6}].
Se u>\sqrt[3]{6} então |6-u^{3}|=u^{3}-6 e o lado esquerdo é u^{3}-5. Defina a função
h(u)=u^{3}-5-\frac{1}{98}u^{2}.
Sua derivada é
h'(u)=3u^{2}-\frac{2}{98}u=u\left(3u-\frac{2}{98}\right),
que é positiva para todo u>0,0068\ldots. Assim h é crescente para todo u\ge\sqrt[3]{6}. Em particular, em u=\sqrt[3]{6} temos
h\big(\sqrt[3]{6}\big)=\big(\sqrt[3]{6}\big)^{3}-5-\frac{1}{98}\big(\sqrt[3]{6}\big)^{2}=6-5-\text{(pequeno)}>0.
Como h é crescente, h(u)>0 para todo u\ge\sqrt[3]{6}. Portanto para todo u>\sqrt[3]{6} temos u^{3}-5>\dfrac{1}{98}u^{2}, o que impede a igualdade u^{3}-5=\dfrac{1}{98}u^{2}\sin u (porque o lado direito está entre -\dfrac{1}{98}u^{2} e \dfrac{1}{98}u^{2}). Assim não há soluções em (\sqrt[3]{6},\infty).
Combinando com a ausência de soluções em (0,\sqrt[3]{6}], concluímos que não existe solução positiva além de u=0.

Passo 6

Analisar o caso u<0. Faço a substituição u=-t com t>0. Então
6u-u^{4}=-6t-t^{4}\quad\Rightarrow\quad |6u-u^{4}|=6t+t^{4}.
A equação original torna-se
t^{4}+6t - t = \frac{1}{98}t^{3}\sin t,
ou seja
t^{4}+5t=\frac{1}{98}t^{3}\sin t.
Dividindo por t>0 obtemos
t^{3}+5=\frac{1}{98}t^{2}\sin t.
O lado esquerdo satisfaz t^{3}+5\ge 5. O lado direito tem módulo no máximo \dfrac{1}{98}t^{2}. Para haver igualdade seria necessário
\frac{1}{98}t^{2}\ge 5\quad\Longrightarrow\quad t^{2}\ge 490\quad\Longrightarrow\quad t\ge\sqrt{490}\approx 22,136.
Assim, se existisse solução negativa u=-t teria que satisfazer t\ge\sqrt{490}.

Passo 7

Mostrar que mesmo para t\ge\sqrt{490} não há solução. Defina
k(t)=t^{3}+5-\frac{1}{98}t^{2}.
Temos
k'(t)=3t^{2}-\frac{2}{98}t=t\left(3t-\frac{2}{98}\right)>0\quad\text{para }t>0{,}0068\ldots,
logo k é crescente para todos os t>0. Em particular, em t=\sqrt{490} o valor k(t) é já grande e positivo (pois t^{3} domina). Assim k(t)>0 para todo t\ge\sqrt{490}, o que implica
t^{3}+5>\frac{1}{98}t^{2}\quad\text{para todo }t\ge\sqrt{490}.
Portanto não existe t\ge\sqrt{490} que satisfaça t^{3}+5=\dfrac{1}{98}t^{2}\sin t (o lado direito tem magnitude no máximo \dfrac{1}{98}t^{2}). Logo não há soluções com u<0 além de u=0.

Passo 8

Conclusão do raciocínio: examinamos todas as possibilidades — u=0, u>0 e u<0 — e vimos que a única solução real da equação é u=0. Assim a sentença aberta foi transformada na sentença fechada que afirma que u é igual a 0.

Resposta

u=0

Exercícios relacionados