Exercício 2.12. Resolva a PVI
y^prime=1+3 x^23 y^2-6 y, y(0)=1
e determine o intervalo de definição da solução.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
y' = 1+3x^23y^2 - 6y, y(0)=1
que é uma equação de variáveis separáveis. Vamos separar as variáveis e integrar.

Passo 2

Separe as variáveis multiplicando ambos os lados por (3y^2-6y),dx:
(3y^2 - 6y),dy = (1+3x^2),dx

Passo 3

Integre cada lado:
integral (3y^2 - 6y),dy = integral (1+3x^2),dx
No lado esquerdo,
integral (3y^2 - 6y),dy = 3cdoty^33 -6cdoty^22 = y^3 -3y^2
No lado direito,
integral (1+3x^2),dx = x + x^3 + C

Passo 4

Junte os resultados para obter a solução implícita com constante C:
y^3 - 3y^2 = x^3 + x + C
Use y(0)=1 para achar C:
(1)^3 - 3(1)^2 = 0 + 0 + C ;Longrightarrow;1 - 3 = C ;Longrightarrow;C = -2

Passo 5

A solução implícita final fica
y^3 - 3y^2 = x^3 + x - 2

Passo 6

Para determinar o intervalo de definição, note que a EDO original exige 3y^2-6yneq0, isto é yneq0 e yneq2. A solução parte de y(0)=1, que está entre 0 e 2, e só pode atingir as bordas y=0 ou y=2 em pontos onde
y=0: 0 - 0 = x^3 + x - 2 ;Longrightarrow;x=1,
y=2: 8 - 12 = x^3 + x - 2 ;Longrightarrow;x^3 + x + 2=0;Longrightarrow;x=-1
Logo o ramo que passa por x=0, y=1 está definido em
(-1,,1)

Resposta

boxedy^3 - 3y^2 = x^3 + x - 2, xin(-1,1)

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