Exercício 12 Sabendo que
|lll a & b & c d & e & f g & h & i |=5
calcule:
|ccca & b & c d-3 a & e-3 b & f-3 c 2 g & 2 h & 2 i|

Passo 1

O enunciado dá a determinante da matriz
A = a & b & c d & e & f g & h & i
como det(A)=5 e pede a determinante da matriz
B = a & b & c d-3a & e-3b & f-3c 2g & 2h & 2i
O conteúdo principal aqui é usar operações elementares em linhas para relacionar det(B) a det(A).

Passo 2

Aplicamos a operação de linha
L2 L2 - 3,L1
Essa operação não altera o valor da determinante, ou seja,
det a & b & c d-3a & e-3b & f-3c 2g & 2h & 2i = det a & b & c d & e & f 2g & 2h & 2i

Passo 3

Agora aplicamos a operação de escalar a terceira linha por 2,
L3 tfrac12,L3,
para voltar à forma original em L3. Inverter essa escala (ou seja, entender que originalmente L3 foi multiplicada por 2) implica que a determinante de
a & b & c d & e & f 2g & 2h & 2i
é exatamente 2 vezes a determinante de
a & b & c d & e & f g & h & i

Passo 4

Juntando os efeitos das operações:
  1. A operação L2 L2 - 3L1 não altera det.
  2. A multiplicação da terceira linha por 2 multiplica det por 2.
Portanto,
det(B) = 2 cdot det(A) = 2 cdot 5 = 10

Resposta

10

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