Exercício 13 Sabendo que os valores reais gamma e de<a são tais que:
|ccc 1 & 2 & gamma de<a & 1 & 1 1 & gamma+de<a & 2 |=1
calcule
|ccc 1 & 2 & gamma de<a & de<a gamma+de<a^2 & 2 de<a de<a gamma & gamma & gamma |

Passo 1

O enunciado dá dois determinantes de ordem 3 envolvendo os reais gamma e de<a. Primeiro, sabe-se que
1 & 2 & gamma de<a & 1 & 1 1 & gamma+de<a & 2 =1
Isso gera uma relação algébrica entre gamma e de<a. A segunda parte pede
1 & 2 & gamma de<a & de<agamma+de<a^2 & 2de<a de<agamma & gamma & gamma ,
que vamos expressar em termos de gamma e de<a e então usar a relação anterior para simplificar.

Passo 2

Calculemos o primeiro determinante D1 por expansão na primeira linha:
D1 =1cdot1&1gamma+de<a&2 -2cdotde<a&11&2 +gammacdotde<a&11&gamma+de<a
Cada menor é
1&1gamma+de<a&2 =2-(gamma+de<a), de<a&11&2 =2de<a-1,
de<a&11&gamma+de<a =de<a(gamma+de<a)-1=de<agamma+de<a^2-1
Logo
D1 =(2-gamma-de<a)-2(2de<a-1) +gamma(de<agamma+de<a^2-1)
Expandindo e recolhendo termos obtemos
D1 =de<agamma^2+de<a^2gamma-2gamma-5de<a+4
Como D1=1, concluímos a relação
de<agamma^2+de<a^2gamma-2gamma-5de<a+4=1 ;;Longrightarrow;; de<agamma^2+de<a^2gamma-2gamma-5de<a+3=0 tag1

Passo 3

Agora calculamos o segundo determinante D2 por expansão na primeira linha:
D2 =1cdotde<agamma+de<a^2&2de<agamma&gamma -2cdotde<a&2de<ade<agamma&gamma +gammacdotde<a&de<agamma+de<a^2de<agamma&gamma
Cada menor vale
de<agamma+de<a^2&2de<agamma&gamma =de<agamma^2+de<a^2gamma-2de<agamma,
de<a&2de<ade<agamma&gamma =de<agamma-2de<a^2gamma,
de<a&de<agamma+de<a^2de<agamma&gamma =de<agamma-de<a^2gamma^2-de<a^3gamma
Portanto, juntando tudo,
D2 =(de<agamma^2+de<a^2gamma-2de<agamma) -2(de<agamma-2de<a^2gamma) +gammal(de<agamma-de<a^2gamma^2-de<a^3gammar)
Fazendo as somas e fatorando convenientemente, chega-se a
D2 =de<a,gammal[-(de<agamma^2+de<a^2gamma)+2gamma+5de<a-4r]

Passo 4

O colchete em D2 é exatamente
-(de<agamma^2+de<a^2gamma)+2gamma+5de<a-4
Mas da relação (1) temos de<agamma^2+de<a^2gamma=2gamma+5de<a-3. Substituindo,
-(2gamma+5de<a-3)+2gamma+5de<a-4 =-1
Logo
D2 =de<a,gammacdot(-1) =-de<agamma

Resposta

-gammade<a

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