Exercício 5. Um grupo de N pessoas jogam seus chapéus no centro de uma sala. Os chapéus são misturados e cada pessoa seleciona um.
(a) Encontre o número esperado de pessoas que selecionam seu próprio chapéu.
(b) Calcule a variância.
(a) Encontre o número esperado de pessoas que selecionam seu próprio chapéu.
(b) Calcule a variância.
Passo 1
O enunciado descreve o clássico problema do “chapéu”: há
pegar seu próprio chapéu},\ 0, & caso contrário. \end{cases}]
O número total de acertos é
Precisamos encontrar
e
. Vamos usar propriedades de esperança e variância de somas de variáveis indicadoras.
Passo 2
Para cada
,
pois, em uma permutação uniforme, a probabilidade de
ficar fixo é
.
Pela linearidade da esperança,
Pela linearidade da esperança,
Passo 3
Para a variância, usamos
Como
é indicadora,
Para
,
Passo 4
Agora somamos:
Logo,
Resposta
(a)
(b)
(b)