Exercício 5. Um grupo de N pessoas jogam seus chapéus no centro de uma sala. Os chapéus são misturados e cada pessoa seleciona um.
(a) Encontre o número esperado de pessoas que selecionam seu próprio chapéu.
(b) Calcule a variância.

Passo 1

O enunciado descreve o clássico problema do “chapéu”: há N\) pessoas e \(N\) chapéus, atribuídos aleatoriamente por uma permutação uniforme. Definimos para cada pessoa \(i\) a variável indicadora \[X_i = \begin{cases} 1, & \text{se a pessoa \(i pegar seu próprio chapéu},\ 0, & caso contrário. \end{cases}]
O número total de acertos é
X = \sum_{i=1}^{N} X_i.
Precisamos encontrar \mathbb{E}[X] e \mathrm{Var}(X). Vamos usar propriedades de esperança e variância de somas de variáveis indicadoras.

Passo 2

Para cada i,
\mathbb{E}[X_i] = P(X_i=1) = \frac{1}{N},
pois, em uma permutação uniforme, a probabilidade de i ficar fixo é 1/N.
Pela linearidade da esperança,
\mathbb{E}[X] = \sum_{i=1}^{N} \mathbb{E}[X_i] = \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{N} = 1.

Passo 3

Para a variância, usamos
\mathrm{Var}(X) = \sum_{i=1}^{N} \mathrm{Var}(X_i) + 2 \sum_{1 \le i < j \le N} \mathrm{Cov}(X_i,X_j).
Como X_i é indicadora,
\mathrm{Var}(X_i) = \mathbb{E}[X_i](1-\mathbb{E}[X_i]) = \frac{1}{N}\Bigl(1-\frac{1}{N}\Bigr) = \frac{N-1}{N^2}.
Para i\neq j,
\mathrm{Cov}(X_i,X_j) = P(X_i=1,\,X_j=1) - \frac{1}{N}\cdot\frac{1}{N} = \frac{1}{N(N-1)} - \frac{1}{N^2} = \frac{1}{N^2(N-1)}.

Passo 4

Agora somamos:
\sum_{i=1}^{N} \mathrm{Var}(X_i) = N\cdot \frac{N-1}{N^2} = \frac{N-1}{N},
\sum_{1\le i<j\le N} \mathrm{Cov}(X_i,X_j) = \binom{N}{2}\,\frac{1}{N^2(N-1)} = \frac{N(N-1)}{2}\cdot\frac{1}{N^2(N-1)} = \frac{1}{2N}.
Logo,
\mathrm{Var}(X) = \frac{N-1}{N} + 2\cdot\frac{1}{2N} = \frac{N-1}{N} + \frac{1}{N} = 1.

Resposta

(a) \mathbb{E}[X]=1.
(b) \mathrm{Var}(X)=1.

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