Exercício 40.
Reciprocamente, se \cos \alpha e sen \alpha são números racionais, prove que \operatorname{tg}\left(\frac{\alpha}{2}\right) é número racional.

Passo 1

O enunciado dá que \cos\alpha e \sin\alpha são números racionais. A tarefa é provar que \tan\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right) é um número racional.
Informações relevantes dadas:
  • \cos\alpha\in\mathbb{Q}.
  • \sin\alpha\in\mathbb{Q}.
    O que se pede:
  • Mostrar que \tan\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right) é racional (quando estiver definido).

Passo 2

Vou apresentar uma identidade que liga \tan\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right) com \sin\alpha e \cos\alpha. Primeiro, lembro as fórmulas de ângulo duplo para seno e cosseno:
\sin\alpha = 2\sin\!\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cos\!\left(\frac{\alpha}{2}\right),
\cos\alpha = 2\cos^2\!\left(\frac{\alpha}{2}\right)-1.
Aqui \sin e \cos são as funções trigonométricas usuais; as expressões usam \sin\!\left(\frac{\alpha}{2}\right) e \cos\!\left(\frac{\alpha}{2}\right), que são os seno e cosseno do ângulo metade.

Passo 3

A partir da segunda identidade, calculo 1+\cos\alpha:
1+\cos\alpha = 1 + \bigl(2\cos^2\!\left(\tfrac{\alpha}{2}\right)-1\bigr) = 2\cos^2\!\left(\tfrac{\alpha}{2}\right).
Agora faço a razão \dfrac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} usando as duas fórmulas:
\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} = \frac{2\sin\!\left(\tfrac{\alpha}{2}\right)\cos\!\left(\tfrac{\alpha}{2}\right)}{2\cos^2\!\left(\tfrac{\alpha}{2}\right)} = \frac{\sin\!\left(\tfrac{\alpha}{2}\right)}{\cos\!\left(\tfrac{\alpha}{2}\right)} = \tan\!\left(\frac{\alpha}{2}\right).
Assim obtemos a identidade fundamental (válida sempre que 1+\cos\alpha\neq 0, i.e., \cos\alpha\neq -1):
\tan\!\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}.

Passo 4

Vou explicar por que essa identidade resolve o problema: se \sin\alpha e \cos\alpha são racionais, então 1+\cos\alpha também é racional (soma de racionais é racional). Se ainda 1+\cos\alpha\neq 0, então a razão
\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}
é uma divisão entre dois números racionais com denominador não nulo, logo é racional. Pela identidade do passo anterior, isso implica que \tan\!\left(\tfrac{\alpha}{2}\right) é racional.

Passo 5

Trato os casos especiais para não deixar dúvidas:
  • Se 1+\cos\alpha\neq 0 (ou seja, \cos\alpha\neq -1), então já provado que \tan\!\left(\tfrac{\alpha}{2}\right)\in\mathbb{Q}.
  • Se 1+\cos\alpha=0, então \cos\alpha=-1. Pela relação \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1 segue \sin\alpha=0. Nesse caso \alpha é um ângulo congruente a \pi (mod 2\pi), e \tan\!\left(\tfrac{\alpha}{2}\right)=\tan\!\left(\tfrac{\pi}{2}+k\pi\right) é indefinida (infinita), portanto não faz sentido falar em racionalidade.
  • Há outro subcaso quando \sin\alpha=0 mas \cos\alpha=1 (ou seja, \alpha congruente a 0 mod 2\pi). Então 1+\cos\alpha=2\neq0 e \tan\!\left(\tfrac{\alpha}{2}\right)=0, que é racional. Note que este subcaso já está coberto pela fórmula geral.
Resumo dos casos: sempre que \tan\!\left(\tfrac{\alpha}{2}\right) estiver definido (ou seja, \cos\alpha\neq -1), a identidade mostra que ele é racional.

Passo 6

Um exemplo numérico rápido para fixar a ideia: suponha \cos\alpha=\tfrac{3}{5} e \sin\alpha=\tfrac{4}{5} (do triângulo 3-4-5). Então
\tan\!\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\frac{4/5}{1+3/5}=\frac{4/5}{8/5}=\frac{1}{2},
que é racional. Esse exemplo ilustra o mecanismo geral: razão de racionais dá racional.

Resposta

\displaystyle \tan\!\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}, portanto, se \sin\alpha e \cos\alpha são racionais e \cos\alpha\neq -1 (ou seja, \tan\!\left(\tfrac{\alpha}{2}\right) está definida), então \tan\!\left(\tfrac{\alpha}{2}\right) é racional.

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