Exercício 40.
Reciprocamente, se
e sen
são números racionais, prove que
é número racional.
Reciprocamente, se
Passo 1
O enunciado dá que
e
são números racionais. A tarefa é provar que
é um número racional.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
-
. -
.
O que se pede: - Mostrar que
é racional (quando estiver definido).
Passo 2
Vou apresentar uma identidade que liga
com
e
. Primeiro, lembro as fórmulas de ângulo duplo para seno e cosseno:
Aqui
e
são as funções trigonométricas usuais; as expressões usam
e
, que são os seno e cosseno do ângulo metade.
Passo 3
A partir da segunda identidade, calculo
:
Agora faço a razão
usando as duas fórmulas:
Assim obtemos a identidade fundamental (válida sempre que
, i.e.,
):
Passo 4
Vou explicar por que essa identidade resolve o problema: se
e
são racionais, então
também é racional (soma de racionais é racional). Se ainda
, então a razão
é uma divisão entre dois números racionais com denominador não nulo, logo é racional. Pela identidade do passo anterior, isso implica que
é racional.
Passo 5
Trato os casos especiais para não deixar dúvidas:
- Se
(ou seja, ), então já provado que . - Se
, então . Pela relação segue . Nesse caso é um ângulo congruente a (mod ), e é indefinida (infinita), portanto não faz sentido falar em racionalidade. - Há outro subcaso quando
mas (ou seja, congruente a mod ). Então e , que é racional. Note que este subcaso já está coberto pela fórmula geral.
Resumo dos casos: sempre que
estiver definido (ou seja,
), a identidade mostra que ele é racional.
Passo 6
Um exemplo numérico rápido para fixar a ideia: suponha
e
(do triângulo 3-4-5). Então
que é racional. Esse exemplo ilustra o mecanismo geral: razão de racionais dá racional.