Exercício 13. Um observador está em um ponto
do aterro do Flamengo e vê o Pão de Açúcar segundo um ângulo de
com o plano horizontal (medido com o teodolito). Ele anda em direção ao seu objetivo até um ponto B distante 650 m de A e agora vê o Pão de Açúcar segundo um ângulo de
. Qual é a altura do Pão de Açúcar em relação ao plano de observação?
Dados:
e
.
Dados:
Passo 1
O enunciado pede para determinar a altura do Pão de Açúcar em relação ao plano de observação, dadas as seguintes informações:
- O observador em
vê o topo sob ângulo . - O observador anda
em direção ao Pão de Açúcar até o ponto . - Em
o ângulo de visão do topo passa a ser . - Dados numéricos fornecidos:
e .
A pergunta única: qual é a altura do Pão de Açúcar em relação ao plano de observação (em metros)?
Passo 2
Vamos desenhar mentalmente a situação e definir variáveis (é o jeito mais seguro para organizar a conta):
- Seja
a altura do Pão de Açúcar em relação ao plano de observação (é o que queremos). - Seja
a distância horizontal (no plano do terreno) do ponto até a base do Pão de Açúcar.
Assim temos dois triângulos retângulos (um visto dee outro visto de ). Importante: em trigonometria de triângulo retângulo,
ou seja, a tangente do ângulo é a razão entre a altura (oposto) e a distância horizontal (adjacente).
Passo 3
Escrevendo a relação da tangente para o observador em
(ângulo
):
Dessa equação obtemos
Passo 4
Para o observador em
a distância horizontal até a base é
(pois
está 650 m mais distante que
). A relação da tangente em
(ângulo
) é
Daí
Passo 5
Como ambas expressões representam
, igualamos:
Agora resolvemos para
. Expandindo e agrupando termos:
Substituindo os valores numéricos dados:
Logo
Passo 6
Agora calculamos a altura
usando
. Substituindo:
Fazendo a multiplicação (mostrar passos úteis):
(ou, usando a forma combinada
, obtém-se o mesmo resultado numérico.)