Exercício 13. Um observador está em um ponto A do aterro do Flamengo e vê o Pão de Açúcar segundo um ângulo de 10^{\circ} com o plano horizontal (medido com o teodolito). Ele anda em direção ao seu objetivo até um ponto B distante 650 m de A e agora vê o Pão de Açúcar segundo um ângulo de 14^{\circ}. Qual é a altura do Pão de Açúcar em relação ao plano de observação?
Dados: \operatorname{tg} 10^{\circ}=0,1763 e \operatorname{tg} 14^{\circ}=0,2493.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a altura do Pão de Açúcar em relação ao plano de observação, dadas as seguintes informações:
  • O observador em A vê o topo sob ângulo \,10^\circ.
  • O observador anda 650\\ \text{m} em direção ao Pão de Açúcar até o ponto B.
  • Em B o ângulo de visão do topo passa a ser \,14^\circ.
  • Dados numéricos fornecidos: \tan 10^\circ = 0,1763 e \tan 14^\circ = 0,2493.
    A pergunta única: qual é a altura do Pão de Açúcar em relação ao plano de observação (em metros)?

Passo 2

Vamos desenhar mentalmente a situação e definir variáveis (é o jeito mais seguro para organizar a conta):
  • Seja h a altura do Pão de Açúcar em relação ao plano de observação (é o que queremos).
  • Seja x a distância horizontal (no plano do terreno) do ponto B até a base do Pão de Açúcar.
    Assim temos dois triângulos retângulos (um visto de B e outro visto de A). Importante: em trigonometria de triângulo retângulo,
\tan\theta=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}},
ou seja, a tangente do ângulo é a razão entre a altura (oposto) e a distância horizontal (adjacente).

Passo 3

Escrevendo a relação da tangente para o observador em B (ângulo \,14^\circ):
\tan 14^\circ=\frac{h}{x}.
Dessa equação obtemos
h = x\cdot \tan 14^\circ.

Passo 4

Para o observador em A a distância horizontal até a base é x+650 (pois A está 650 m mais distante que B). A relação da tangente em A (ângulo \,10^\circ) é
\tan 10^\circ=\frac{h}{x+650}.
Daí
h = (x+650)\cdot \tan 10^\circ.

Passo 5

Como ambas expressões representam h, igualamos:
x\cdot \tan 14^\circ = (x+650)\cdot \tan 10^\circ.
Agora resolvemos para x. Expandindo e agrupando termos:
x\cdot \tan 14^\circ = x\cdot \tan 10^\circ + 650\cdot \tan 10^\circ,
x(\tan 14^\circ - \tan 10^\circ) = 650\cdot \tan 10^\circ,
x = \frac{650\cdot \tan 10^\circ}{\tan 14^\circ - \tan 10^\circ}.
Substituindo os valores numéricos dados:
\tan 10^\circ = 0,1763,\qquad \tan 14^\circ = 0,2493,
\text{denominador} = 0,2493 - 0,1763 = 0,0730,
650\cdot \tan 10^\circ = 650\cdot 0,1763 = 0,1763\cdot 600 + 0,1763\cdot 50 = 105,78 + 8,815 = 114,595.
Logo
x = \frac{114,595}{0,0730} \approx 1\,570{,}07\\ \text{m}.

Passo 6

Agora calculamos a altura h usando h = x\cdot \tan 14^\circ. Substituindo:
h \approx 1\,570{,}07\cdot 0,2493.
Fazendo a multiplicação (mostrar passos úteis):
0,2493\cdot 1\,570{,}07 \approx 0,2493\cdot 1\,570{,}07 = (0,2493\cdot 1\,570{,}07) \approx 391{,}42\\ \text{m}.
(ou, usando a forma combinada h=\dfrac{650\cdot \tan 10^\circ\cdot \tan 14^\circ}{\tan 14^\circ-\tan 10^\circ}, obtém-se o mesmo resultado numérico.)

Resposta

391{,}42\\ \text{m}

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