Exercício 12. (Teorema de Stokes) Use o teorema de Stokes para calcular a integral de linha
, onde
e
é a superfície do hiperbolóide
que fica acima do plano
e dentro do cilindro
, com normal unitária para cima.
Passo 1
O enunciado pede
onde
e
é o pedaço da superfície
acima do plano
e dentro do cilindro
, com a normal apontando para cima.
Como o teorema de Stokes diz que
Como o teorema de Stokes diz que
vamos achar a curva de contorno
, parametrizá-la e calcular
.
Passo 2
A curva
é a interseção de
com o cilindro
. Logo, em coordenadas polares,
e
Parametrizamos então
Como a normal em
aponta para cima, a orientação positiva é no sentido anti-horário visto de cima, que coincide com
crescente.
Passo 3
Computamos
e
:
Logo
Passo 4
Simplificamos termo a termo:
Isto é
Usando as identidades
o integrando torna-se
Passo 5
Agora fazemos