Exercício 12. (Teorema de Stokes) Use o teorema de Stokes para calcular a integral de linha \iint_{S}(\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d \mathbf{S}, onde \mathbf{F}(x, y, z)=\left(x^{2} y, \frac{1}{3} x^{3}, x y\right) e S é a superfície do hiperbolóide z=1-x^{2}+y^{2} que fica acima do plano x y e dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=1, com normal unitária para cima.

Passo 1

O enunciado pede
\iint_{S}(\nabla\times \mathbf F)\cdot d\mathbf S,
onde \mathbf F(x,y,z)=(x^2y,\;\tfrac13x^3,\;xy) e S é o pedaço da superfície
z=1 - x^2 + y^2
acima do plano z=0 e dentro do cilindro x^2+y^2=1, com a normal apontando para cima.
Como o teorema de Stokes diz que
\iint_{S}(\nabla\times \mathbf F)\cdot d\mathbf S \;=\;\oint_{\partial S}\mathbf F\cdot d\mathbf r,
vamos achar a curva de contorno \partial S, parametrizá-la e calcular \oint \mathbf F\cdot d\mathbf r.

Passo 2

A curva \partial S é a interseção de z=1 - x^2 + y^2 com o cilindro x^2+y^2=1. Logo, em coordenadas polares,
x=\cos\theta,\quad y=\sin\theta,
e
z=1 - \cos^2\theta + \sin^2\theta =1 -(\cos^2\theta-\sin^2\theta) =1 - \cos2\theta.
Parametrizamos então
\mathbf r(\theta) =\bigl(\cos\theta,\;\sin\theta,\;1-\cos2\theta\bigr), \quad 0\le\theta\le2\pi.
Como a normal em S aponta para cima, a orientação positiva é no sentido anti-horário visto de cima, que coincide com \theta crescente.

Passo 3

Computamos \mathbf r'(\theta) e \mathbf F(\mathbf r(\theta)):
\mathbf r'(\theta) =\bigl(-\sin\theta,\;\cos\theta,\;2\sin2\theta\bigr),
\mathbf F(\mathbf r(\theta)) =\bigl(\cos^2\theta\sin\theta,\;\tfrac13\cos^3\theta,\;\cos\theta\sin\theta\bigr).
Logo
\mathbf F\!\bigl(\mathbf r(\theta)\bigr)\cdot \mathbf r'(\theta) =\cos^2\theta\sin\theta\;(-\sin\theta) +\tfrac13\cos^3\theta\;(\cos\theta) +\cos\theta\sin\theta\;(2\sin2\theta).

Passo 4

Simplificamos termo a termo:
-\cos^2\theta\,\sin^2\theta +\tfrac13\cos^4\theta +2\cos\theta\sin\theta\,(2\sin\theta\cos\theta) = -\,\cos^2\theta\,\sin^2\theta +\tfrac13\cos^4\theta +4\cos^2\theta\,\sin^2\theta.
Isto é
3\cos^2\theta\,\sin^2\theta +\tfrac13\cos^4\theta.
Usando as identidades
\cos^2\theta\,\sin^2\theta =\tfrac18\bigl(1-\cos4\theta\bigr), \quad \cos^4\theta =\tfrac18\bigl(3+4\cos2\theta+\cos4\theta\bigr),
o integrando torna-se
\tfrac12+\tfrac16\cos2\theta-\tfrac13\cos4\theta.

Passo 5

Agora fazemos
\oint_{\partial S}\mathbf F\cdot d\mathbf r =\int_{0}^{2\pi}\Bigl(\tfrac12+\tfrac16\cos2\theta-\tfrac13\cos4\theta\Bigr)d\theta =\Bigl[\tfrac12\theta+\tfrac1{12}\sin2\theta-\tfrac1{12}\sin4\theta\Bigr]_{0}^{2\pi} =\pi.

Resposta

\pi

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