Exercício 8. (Teorema da Divergência de Gauss) Seja
a região sólida e limitada pelo cilindro
e os planos
and
. Seja
a superfície que é a fronteira de
. Use o teorema da divergência para computar o fluxo de
por
.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
pela superfície fechada
, onde
é o sólido limitado pelo cilindro
e pelos planos
e
. Vamos usar o Teorema da Divergência de Gauss, que diz que
Passo 2
Calculamos a divergência de
:
Passo 3
Para avaliar
usamos coordenadas cilíndricas:
,
, com
,
. O plano superior é
, e o inferior é
. Assim
Passo 4
Fazemos primeiro a integral em
:
Passo 5
Agora integramos em
e
. Ao separar em termos e usar
e , obtemos
e