Exercício 8. (Teorema da Divergência de Gauss) Seja E a região sólida e limitada pelo cilindro x^{2}+y^{2}=1 e os planos z=0 and z=y+2. Seja S a superfície que é a fronteira de E. Use o teorema da divergência para computar o fluxo de \mathbf{F}(x, y, z)=\left(x^{3}, 2 y z, x^{2} z\right) por S.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \mathbf{F}(x,y,z)=(x^3,2yz,x^2z) pela superfície fechada S=\partial E, onde E é o sólido limitado pelo cilindro x^2+y^2=1 e pelos planos z=0 e z=y+2. Vamos usar o Teorema da Divergência de Gauss, que diz que
\text{Fluxo}=\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS =\iiint_{E}(\nabla\!\cdot\!\mathbf{F})\,dV.

Passo 2

Calculamos a divergência de \mathbf{F}:
\nabla\!\cdot\!\mathbf{F} =\frac{\partial}{\partial x}(x^3) +\frac{\partial}{\partial y}(2yz) +\frac{\partial}{\partial z}(x^2z) =3x^2+2z+x^2 =4x^2+2z.

Passo 3

Para avaliar
\iiint_{E}(4x^2+2z)\,dV
usamos coordenadas cilíndricas: x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, com 0\le r\le1, 0\le\theta\le2\pi. O plano superior é z=y+2=r\sin\theta+2, e o inferior é z=0. Assim
dV=r\,dz\,dr\,d\theta \quad\text{e}\quad 4x^2+2z=4r^2\cos^2\theta+2z.

Passo 4

Fazemos primeiro a integral em z:
\int_{z=0}^{r\sin\theta+2}(4r^2\cos^2\theta+2z)\,r\,dz =r\Bigl[4r^2\cos^2\theta\cdot (r\sin\theta+2) +\,(r\sin\theta+2)^2\Bigr].

Passo 5

Agora integramos em r e \theta. Ao separar em termos e usar
\int_{0}^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta=\int_{0}^{2\pi}\sin^2\theta\,d\theta=\pi
e \int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta=0, obtemos
\text{Fluxo} =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}\Bigl[4r^3\cos^2\theta\,(r\sin\theta+2) +r\,(r\sin\theta+2)^2\Bigr]\,dr\,d\theta = \frac{25\pi}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{25\pi}{4}

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