Exercício 14. (Exercício Conceitual dos Teoremas Integrais) Sejam S_{1} e S_{2} duas superfícies no espaço com a mesma curva de fronteira C (por exemplo, imagine um hemisfério superior e um disco plano ambos limitados pelo mesmo círculo “equador”). Seja \mathbf{F} um campo vetorial definido em todo o \mathbb{R}^{3}. Usando o teorema de Stokes, prove que o fluxo do rotacional de \mathbf{F} é o mesmo pelas duas superfícies:
\iint_{S_{1}}(\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d \mathbf{S}=\iint_{S_{2}}(\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d \mathbf{S}
Em seguida, use este resultado e o teorema da divergência para explicar por que o fluxo do rotacional de um campo globalmente definido, através de uma superfície fechada, tem que ser zero.

Passo 1

O enunciado diz que temos duas superfícies S_{1} e S_{2} com a mesma curva de fronteira C, e um campo vetorial \mathbf{F} definido em todo \mathbb{R}^{3}. Queremos mostrar que
\iint_{S_{1}}(\nabla \times \mathbf{F})\cdot d\mathbf{S} = \iint_{S_{2}}(\nabla \times \mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}
usando o Teorema de Stokes. Depois, com esse resultado e o Teorema da Divergência, explicar por que o fluxo de \nabla\times\mathbf{F} através de uma superfície fechada é zero.

Passo 2

Pelo Teorema de Stokes, para qualquer superfície S com fronteira orientada positivamente C vale
\iint_{S}(\nabla \times \mathbf{F})\cdot d\mathbf{S} = \oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.
Como S_{1} e S_{2} têm a mesma fronteira C e orientações compatíveis, temos
\iint_{S_{1}}(\nabla \times \mathbf{F})\cdot d\mathbf{S} = \oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_{S_{2}}(\nabla \times \mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}.

Passo 3

Para ver que o fluxo de \nabla\times\mathbf{F} através de uma superfície fechada \partial V é zero, note que podemos imaginar \partial V como duas “folhas” S_{1} e S_{2} que se encontram ao longo de uma curva comum C. Nessas duas folhas a curva C aparece com orientações opostas, de modo que
\iint_{S_{1}}(\nabla \times \mathbf{F})\cdot d\mathbf{S} + \iint_{S_{2}}(\nabla \times \mathbf{F})\cdot d\mathbf{S} = \oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} - \oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =0.
Como S_{1}\cup S_{2}=\partial V, o fluxo total sobre \partial V é zero.

Passo 4

Alternativamente, pelo Teorema da Divergência aplicado ao campo \nabla\times\mathbf{F} sobre o volume V cujo contorno é \partial V, temos
\iint_{\partial V}(\nabla \times \mathbf{F})\cdot d\mathbf{S} = \iiint_{V}\nabla\cdot\bigl(\nabla\times\mathbf{F}\bigr)\,dV.
Mas é um fato geral que
\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{F})=0
em todo \mathbb{R}^{3}. Logo o integral de volume é zero, e o fluxo também é zero.

Resposta

O fluxo de \nabla\times\mathbf{F} é igual em S_{1} e S_{2} porque ambos se reduzem ao mesmo integral de linha em C. Para uma superfície fechada, seja pelo cancelamento de orientações ou porque \nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{F})=0, o fluxo total é zero.

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