Exercício 14. (Exercício Conceitual dos Teoremas Integrais) Sejam
e
duas superfícies no espaço com a mesma curva de fronteira
(por exemplo, imagine um hemisfério superior e um disco plano ambos limitados pelo mesmo círculo “equador”). Seja
um campo vetorial definido em todo o
. Usando o teorema de Stokes, prove que o fluxo do rotacional de
é o mesmo pelas duas superfícies:
Em seguida, use este resultado e o teorema da divergência para explicar por que o fluxo do rotacional de um campo globalmente definido, através de uma superfície fechada, tem que ser zero.
Passo 1
O enunciado diz que temos duas superfícies
e
com a mesma curva de fronteira
, e um campo vetorial
definido em todo
. Queremos mostrar que
usando o Teorema de Stokes. Depois, com esse resultado e o Teorema da Divergência, explicar por que o fluxo de
através de uma superfície fechada é zero.
Passo 2
Pelo Teorema de Stokes, para qualquer superfície
com fronteira orientada positivamente
vale
Como
e
têm a mesma fronteira
e orientações compatíveis, temos
Passo 3
Para ver que o fluxo de
através de uma superfície fechada
é zero, note que podemos imaginar
como duas “folhas”
e
que se encontram ao longo de uma curva comum
. Nessas duas folhas a curva
aparece com orientações opostas, de modo que
Como
, o fluxo total sobre
é zero.
Passo 4
Alternativamente, pelo Teorema da Divergência aplicado ao campo
sobre o volume
cujo contorno é
, temos
Mas é um fato geral que
em todo
. Logo o integral de volume é zero, e o fluxo também é zero.
Resposta
O fluxo de
é igual em
e
porque ambos se reduzem ao mesmo integral de linha em
. Para uma superfície fechada, seja pelo cancelamento de orientações ou porque
, o fluxo total é zero.