Exercício 9. (Teorema da Divergência de Gauss) Seja S o hemisfério superior de raio R, i.e., x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2} com z \geq 0, orientado com normal para cima. Seja \mathbf{F}(x, y, z)=\left(z x, z y, z^{2}\right). Encontre o fluxo de \mathbf{F} por S fechando a superfície por baixo com a superfície de um disco no plano x y e aplicando o teorema da divergência ao hemisfério sólido resultante.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \mathbf{F}(x,y,z)=(z x,\;z y,\;z^{2}) através do hemisfério superior de raio R, isto é a superfície
S: x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2},\quad z\ge0,
orientada para fora (normal apontando para cima). Vamos fechar S com o disco D no plano z=0 e aplicar o Teorema da Divergência ao sólido V delimitado por S\cup D. Precisamos: 1) calcular \nabla\cdot\mathbf{F}, 2) avaliar o integral triplo \iiint_{V}(\nabla\cdot\mathbf{F})\,dV, 3) calcular o fluxo por D, e 4) usar
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS \;+\;\iint_{D}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS \;=\; \iiint_{V}(\nabla\cdot\mathbf{F})\,dV.

Passo 2

Calculamos a divergência de \mathbf{F}:
\nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial}{\partial x}(z x) +\frac{\partial}{\partial y}(z y) +\frac{\partial}{\partial z}(z^{2}) = z + z + 2z = 4z.

Passo 3

Avaliaremos
\iiint_{V}4z\,dV
em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z), onde 0\le r\le R, 0\le\theta\le2\pi, 0\le z\le\sqrt{R^{2}-r^{2}}. O elemento de volume é dV=r\,dr\,d\theta\,dz, então
\iiint_{V}4z\,dV =\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{R}\!\!\int_{0}^{\sqrt{R^{2}-r^{2}}} 4z\,r\,dz\,dr\,d\theta.
Integramos primeiro em z:
\int_{0}^{\sqrt{R^{2}-r^{2}}}4z\,dz =4\cdot\frac{1}{2}\bigl(\sqrt{R^{2}-r^{2}}\bigr)^{2} =2\,(R^{2}-r^{2}).
Logo o integral reduz a
\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{R}2\,(R^{2}-r^{2})\,r\,dr\,d\theta.
Fazendo o integral em r:
\int_{0}^{R}2\,(R^{2}-r^{2})\,r\,dr =2\Bigl[R^{2}\,\frac{R^{2}}{2}-\frac{R^{4}}{4}\Bigr] =2\Bigl[\frac{R^{4}}{2}-\frac{R^{4}}{4}\Bigr] =\frac{R^{4}}{2}.
Então
\iiint_{V}4z\,dV =\int_{0}^{2\pi}\frac{R^{4}}{2}\,d\theta =2\pi\;\frac{R^{4}}{2} =\pi\,R^{4}.

Passo 4

Agora calculamos o fluxo de \mathbf{F} pelo disco D no plano z=0. A normal externa de D aponta para baixo, ou seja \mathbf{n}=-\mathbf{k}. Em z=0 temos \mathbf{F}(x,y,0)=(0,0,0). Portanto
\iint_{D}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS =\iint_{D}(0,0,0)\cdot(-\mathbf{k})\,dS =0.

Passo 5

Pelo Teorema da Divergência,
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS +\iint_{D}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS =\iiint_{V}4z\,dV =\pi\,R^{4}.
Como o fluxo pelo disco é zero, concluímos
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS =\pi\,R^{4}.

Resposta

\displaystyle \pi\,R^{4}

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