Exercício 9. (Teorema da Divergência de Gauss) Seja
o hemisfério superior de raio
, i.e.,
com
, orientado com normal para cima. Seja
. Encontre o fluxo de
por
fechando a superfície por baixo com a superfície de um disco no plano
e aplicando o teorema da divergência ao hemisfério sólido resultante.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
através do hemisfério superior de raio
, isto é a superfície
orientada para fora (normal apontando para cima). Vamos fechar
com o disco
no plano
e aplicar o Teorema da Divergência ao sólido
delimitado por
. Precisamos: 1) calcular
, 2) avaliar o integral triplo
, 3) calcular o fluxo por
, e 4) usar
Passo 2
Calculamos a divergência de
:
Passo 3
Avaliaremos
em coordenadas cilíndricas
, onde
,
,
. O elemento de volume é
, então
Integramos primeiro em
:
Logo o integral reduz a
Fazendo o integral em
:
Então
Passo 4
Agora calculamos o fluxo de
pelo disco
no plano
. A normal externa de
aponta para baixo, ou seja
. Em
temos
. Portanto
Passo 5
Pelo Teorema da Divergência,
Como o fluxo pelo disco é zero, concluímos