Exercício 13. (Teorema de Stokes) Seja
a curva interseção do cilindro parabólico
e o cilindro circular
, orientada de maneira anti-horária quando vista de cima. Calcule
.
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha fechada
onde
é a curva de interseção de
com
, orientada anticlockwise vista de cima. Vamos usar o Teorema de Stokes, que diz
escolhendo
como a parte do paraboloide
acima do disco
.
Passo 2
Definimos o campo
com
Calculamos o rotacional
Aqui
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Passo 3
Parametrizamos
como o gráfico
sobre o disco
. Para esse gráfico, um vetor normal orientado para cima é
onde
, de modo que
e
.
Passo 4
Aplicando Stokes:
Como
é o disco de raio
, tem área
. Logo