Exercício 13. (Teorema de Stokes) Seja C a curva interseção do cilindro parabólico z=x^{2} e o cilindro circular x^{2}+y^{2}=1, orientada de maneira anti-horária quando vista de cima. Calcule \oint_{C}\left(\sin \left(x^{2}\right)-y\right) d x+\left(e^{y^{3}}+3 x\right) d y+\left(z^{2}-z\right) d z.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha fechada
\oint_{C}\bigl(\sin(x^{2})-y\bigr)\,dx+\bigl(e^{y^{3}}+3x\bigr)\,dy+\bigl(z^{2}-z\bigr)\,dz
onde C é a curva de interseção de z=x^{2} com x^{2}+y^{2}=1, orientada anticlockwise vista de cima. Vamos usar o Teorema de Stokes, que diz
\oint_{C}\mathbf F\cdot d\mathbf r \;=\;\iint_{S}(\nabla\times \mathbf F)\cdot \mathbf n\,dS,
escolhendo S como a parte do paraboloide z=x^{2} acima do disco x^{2}+y^{2}\le1.

Passo 2

Definimos o campo \mathbf F=(P,Q,R) com
P=\sin(x^{2})-y,\quad Q=e^{y^{3}}+3x,\quad R=z^{2}-z.
Calculamos o rotacional
\nabla\times \mathbf F =\Bigl(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr).
Aqui
\frac{\partial R}{\partial y}=0,\; \frac{\partial Q}{\partial z}=0,\; \frac{\partial P}{\partial z}=0,\; \frac{\partial R}{\partial x}=0,
\frac{\partial Q}{\partial x}=3,\; \frac{\partial P}{\partial y}=-1,
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\nabla\times \mathbf F=(0,0,3-(-1))=(0,0,4).

Passo 3

Parametrizamos S como o gráfico z=x^{2} sobre o disco D\colon x^{2}+y^{2}\le1. Para esse gráfico, um vetor normal orientado para cima é
\mathbf n\,dS =(-f_{x},-f_{y},1)\,dA =(-2x,0,1)\,dA,
onde f(x,y)=x^{2}, de modo que f_{x}=2x e f_{y}=0.

Passo 4

Aplicando Stokes:
\iint_{S}(\nabla\times \mathbf F)\cdot \mathbf n\,dS =\iint_{D}(0,0,4)\cdot(-2x,0,1)\,dA =\iint_{D}4\,dA =4\iint_{D}dA.
Como D é o disco de raio 1, tem área \pi. Logo
\iint_{S}(\nabla\times \mathbf F)\cdot \mathbf n\,dS =4\cdot\pi=4\pi.

Resposta

4\pi

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