Exercício 0.12 Usando composição de funções, estude os intervalos de monotonicidade das funções dadas.
.
Passo 1
O enunciado pede para estudar onde a função
é crescente ou decrescente, usando composição de funções. Vamos identificar duas funções mais simples cujas monotonicidades conhecemos e então aplicar a regra de composição.
Passo 2
Definimos
de modo que
.
Para temos
Para
logo
é estritamente decrescente em
.
Para temos
Para
logo
é estritamente decrescente em cada componente de seu domínio
.
Passo 3
Como a composição de duas funções decrescentes é crescente, concluímos que
é estritamente crescente em cada intervalo onde está definida. Note que
não existe em
, então seu domínio natural divide-se em
e
. Em cada um desses intervalos
e a regra vale sem ressalvas.