Exercício 0.12 Usando composição de funções, estude os intervalos de monotonicidade das funções dadas.
f(x)=\frac{1}{2-x}.

Passo 1

O enunciado pede para estudar onde a função
f(x)=\frac{1}{2 - x}
é crescente ou decrescente, usando composição de funções. Vamos identificar duas funções mais simples cujas monotonicidades conhecemos e então aplicar a regra de composição.

Passo 2

Definimos
h(x) = 2 - x, \qquad g(u) = \frac{1}{u},
de modo que f = g\circ h.
Para h(x)=2-x temos
h'(x) = -1 < 0,
logo h é estritamente decrescente em \mathbb{R}.
Para g(u)=1/u temos
g'(u) = -\frac{1}{u^2} < 0\quad (\forall u\neq 0),
logo g é estritamente decrescente em cada componente de seu domínio \mathbb{R}\setminus\{0\}.

Passo 3

Como a composição de duas funções decrescentes é crescente, concluímos que f(x)=g(h(x)) é estritamente crescente em cada intervalo onde está definida. Note que f não existe em x=2, então seu domínio natural divide-se em (-\infty,2) e (2,\infty). Em cada um desses intervalos h(x)\neq 0 e a regra vale sem ressalvas.

Resposta

f é estritamente crescente em (-\infty,2) e em (2,\infty).

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