Exercício 0.12 Usando composição de funções, estude os intervalos de monotonicidade das funções dadas.
.
Passo 1
O enunciado pede para estudar os intervalos de monotonicidade da função
O conteúdo aplicado será o estudo de monotonicidade via derivada, usando composição de funções:
com
Passo 2
Primeiro simplificamos o sinal de
. Note que
Como vamos elevar ao quadrado, podemos reescrever
Passo 3
Para derivar
, use a regra da cadeia. Seja
. Então
e
Agora calculamos
por quociente:
Logo,
Passo 4
Estudamos o sinal de
Os zeros críticos ocorrem em
(numerador) e há descontinuidade em
(denominador). Logo, os intervalos a testar são
,
e
.
Passo 5
Em cada intervalo, analisamos o sinal de
, de
e de
:
- Para
: e , então e com o fator temos . - Para
: e , então e torna . - Para
: e , então e torna .
Resposta
A função é
decrescente em ,
crescente em ,
decrescente em .
decrescente em
crescente em
decrescente em