Exercício 0.12 Usando composição de funções, estude os intervalos de monotonicidade das funções dadas.
f(x)=\left(\frac{x-1}{2-x}\right)^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para estudar os intervalos de monotonicidade da função
f(x)=\Bigl(\frac{x-1}{2-x}\Bigr)^{2}.
O conteúdo aplicado será o estudo de monotonicidade via derivada, usando composição de funções: f(x)=\bigl(g(x)\bigr)^{2} com
g(x)=\frac{x-1}{2-x}.

Passo 2

Primeiro simplificamos o sinal de g(x). Note que
g(x)=\frac{x-1}{2-x}=-\frac{x-1}{x-2}.
Como vamos elevar ao quadrado, podemos reescrever
f(x)=\Bigl(\frac{x-1}{x-2}\Bigr)^{2}.

Passo 3

Para derivar f, use a regra da cadeia. Seja u(x)=\dfrac{x-1}{x-2}. Então f(x)=\bigl(u(x)\bigr)^{2} e
f'(x)=2\,u(x)\,u'(x).
Agora calculamos u'(x) por quociente:
u'(x) =\frac{(1)(x-2)-(x-1)(1)}{(x-2)^{2}} =\frac{x-2-x+1}{(x-2)^{2}} =-\frac{1}{(x-2)^{2}}.
Logo,
f'(x) =2\cdot\frac{x-1}{x-2}\cdot\Bigl(-\frac{1}{(x-2)^{2}}\Bigr) =-\frac{2\,(x-1)}{(x-2)^{3}}.

Passo 4

Estudamos o sinal de
f'(x)=-\frac{2\,(x-1)}{(x-2)^{3}}.
Os zeros críticos ocorrem em x=1 (numerador) e há descontinuidade em x=2 (denominador). Logo, os intervalos a testar são (-\infty,1), (1,2) e (2,\infty).

Passo 5

Em cada intervalo, analisamos o sinal de \,-2, de (x-1) e de (x-2)^{3}:
  • Para x<1: (x-1)<0 e (x-2)^{3}<0, então (x-1)/(x-2)^{3}>0 e com o fator -2 temos f'(x)<0.
  • Para 1<x<2: (x-1)>0 e (x-2)^{3}<0, então (x-1)/(x-2)^{3}<0 e -2 torna f'(x)>0.
  • Para x>2: (x-1)>0 e (x-2)^{3}>0, então (x-1)/(x-2)^{3}>0 e -2 torna f'(x)<0.

Resposta

A função é
decrescente em (-\infty,1),
crescente em (1,2),
decrescente em (2,\infty).

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