Exercício 0.12 Usando composição de funções, estude os intervalos de monotonicidade das funções dadas.
f(x)=\frac{3}{x^{2}-1}.

Passo 1

O enunciado pede estudar os intervalos de monotonicidade da função
f(x)=\frac{3}{x^{2}-1}.
Aqui vamos usar derivadas e a regra da cadeia (ou “composição de funções”) para encontrar f'(x) e depois analisar o sinal de f'(x) em cada parte do domínio de f.

Passo 2

Escrevemos f como composição de três funções:
g(x)=x^{2},\quad h(u)=\frac{1}{u-1},\quad\text{e}\quad f(x)=3\;h\bigl(g(x)\bigr).
Para aplicar a regra da cadeia, precisamos de g'(x) e de h'(u).

Passo 3

Calculamos:
g'(x)=2x, \qquad h'(u)=-\frac{1}{(u-1)^{2}}.
Pela regra da cadeia e fator constante,
f'(x) =3\;h'\bigl(g(x)\bigr)\;g'(x) =3\;\Bigl(-\frac{1}{(x^{2}-1)^{2}}\Bigr)\;(2x) =-\frac{6x}{(x^{2}-1)^{2}}.

Passo 4

O domínio de f é \mathbb{R}\setminus\{\,-1,1\}. Assim, temos quatro intervalos para analisar:
(-\infty,-1),\quad(-1,0),\quad(0,1),\quad(1,\infty).
Note que (x^{2}-1)^{2}>0 em todo o domínio, logo o sinal de f'(x) vem apenas de -6x. Assim:
  • Se x<0, então -6x>0, ou seja, f'(x)>0.
  • Se x>0, então -6x<0, ou seja, f'(x)<0.

Passo 5

Concluímos:
  • f é crescente nos intervalos onde x<0, isto é, em (-\infty,-1) e em (-1,0).
  • f é decrescente nos intervalos onde x>0, isto é, em (0,1) e em (1,\infty).

Resposta

f é crescente em (-\infty,-1)\cup(-1,0) e decrescente em (0,1)\cup(1,\infty).

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