Exercício 0.12 Usando composição de funções, estude os intervalos de monotonicidade das funções dadas.
.
Passo 1
O enunciado pede estudar os intervalos de monotonicidade da função
Aqui vamos usar derivadas e a regra da cadeia (ou “composição de funções”) para encontrar
e depois analisar o sinal de
em cada parte do domínio de
.
Passo 2
Escrevemos
como composição de três funções:
Para aplicar a regra da cadeia, precisamos de
e de
.
Passo 3
Calculamos:
Pela regra da cadeia e fator constante,
Passo 4
O domínio de
é
. Assim, temos quatro intervalos para analisar:
Note que
em todo o domínio, logo o sinal de
vem apenas de
. Assim:
- Se
, então , ou seja, . - Se
, então , ou seja, .
Passo 5
Concluímos:
-
é crescente nos intervalos onde , isto é, em e em . -
é decrescente nos intervalos onde , isto é, em e em .