Exercício 0.8 Estude os intervalos de monotonicidade das funções dadas.
f(x)=\frac{x+2}{3 x-1}.

Passo 1

O enunciado pede para estudar os intervalos de monotonicidade da função
f(x)=\frac{x+2}{3x-1}.
Conteúdo: derivadas e teste de monotonicidade. Vamos (i) determinar o domínio, (ii) calcular f'(x) e (iii) analisar o sinal de f'(x) em cada parte do domínio.

Passo 2

O denominador não pode ser zero, logo
3x-1\neq0\implies x\neq\frac13.
Portanto o domínio de f é
(-\infty,\tfrac13)\cup(\tfrac13,\infty).

Passo 3

Usando a regra do quociente,
f'(x) =\frac{(x+2)'(3x-1)-(x+2)(3x-1)'}{(3x-1)^2} =\frac{1\cdot(3x-1)- (x+2)\cdot3}{(3x-1)^2} =\frac{3x-1-3x-6}{(3x-1)^2} =\frac{-7}{(3x-1)^2}.

Passo 4

Note que o numerador é -7<0 e o denominador (3x-1)^2>0 para todo x\neq\tfrac13. Logo
f'(x)<0\quad\forall x\in(-\infty,\tfrac13)\cup(\tfrac13,\infty).

Passo 5

Como f'(x) é negativo em todo o domínio, f é estritamente decrescente em cada intervalo de sua definição.

Resposta

f é estritamente decrescente em (-\infty,\tfrac13) e em (\tfrac13,\infty). Não há intervalo de crescimento.

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