Exercício 0.9 Sejam
e
duas funções dadas e
um intervalo. Mostre que as afirmações abaixo são verdadeira, ou apresente um contra-exemplo.
i)
e
são crescentes em
, então
é crescente em
.
ii) Se f é crescente em
e g é decrescente em
, então
é decrescente em
.
iii)
e
são crescentes em
, então f.g é crescente em
.
iv)
e
são não negativas e crescentes em
e então
é crescente em
.
v) Obtenha variações destas afirmações, trocando o tipo de monotonicidade e depois as resolva.
i)
ii) Se f é crescente em
iii)
iv)
v) Obtenha variações destas afirmações, trocando o tipo de monotonicidade e depois as resolva.
Passo 1
O enunciado pede para analisar se determinadas combinações de funções monotônicas em um intervalo
produzem uma função também monotônica. Vamos usar a definição de monotonicidade:
– é crescente em
se, para todo
em
, vale
.
– é decrescente em
se, para todo
em
, vale
.
–
–
Passo 2
(i) Se
e
são crescentes, então para
em
temos
Somando as duas desigualdades aparece
logo
é crescente em
.
Passo 3
(ii) Queremos ver se, com
crescente e
decrescente, a soma
é decrescente. Isso exigiria
Mas o fato de
subir e
cair não garante nenhuma relação fixa na soma.
Contra-exemplo em :
Contra-exemplo em
Então
não é monotônica: decresce para
e cresce para
. Logo a afirmação é falsa.
Passo 4
(iii) Se
e
são crescentes, será
crescente? Também não: basta permitir valores negativos.
Contra-exemplo em :
Contra-exemplo em
Aqui
e
são crescentes (em todo
), mas
em
é decrescente. Logo a afirmação é falsa.
Passo 5
(iv) Se
e
são não negativas e crescentes em
, então para
vale
Multiplicando as desigualdades apropriadas:
onde usamos
e depois
com todos os termos não negativos. Assim
isto é,
é crescente. Logo a afirmação é verdadeira.
Passo 6
(v) Algumas variações analogamente resolvidas:
- Soma de duas funções decrescentes é decrescente (prova igual à do caso (i), invertendo as desigualdades).
- Soma de crescente com decrescente em geral não é monotônica (mesmo contra-exemplo do passo 3).
- Produto de duas funções decrescentes não negativas é decrescente (mesma ideia do passo 5, trocando “
” por “ ”). - Produto de crescente com decrescente não negativas em geral não é monotônico (por exemplo,
crescente e decrescente em geram uma parábola que cresce e depois decresce).
Resposta
i) Verdadeiro.
ii) Falso, contra-exemplo ,
em
.
iii) Falso, contra-exemplo em
.
iv) Verdadeiro, conforme o passo 5.
v) Variações principais: soma de duas decrescentes é decrescente; soma de crescente e decrescente não é monotônica; produto de duas decrescentes não negativas é decrescente; produto de crescente e decrescente não negativas não é monotônico.
ii) Falso, contra-exemplo
iii) Falso, contra-exemplo
iv) Verdadeiro, conforme o passo 5.
v) Variações principais: soma de duas decrescentes é decrescente; soma de crescente e decrescente não é monotônica; produto de duas decrescentes não negativas é decrescente; produto de crescente e decrescente não negativas não é monotônico.