Exercício 0.9 Sejam f e g duas funções dadas e I um intervalo. Mostre que as afirmações abaixo são verdadeira, ou apresente um contra-exemplo.
i) S e f e g são crescentes em I, então f+g é crescente em I.
ii) Se f é crescente em I e g é decrescente em I, então f+g é decrescente em I.
iii) S e f e g são crescentes em I, então f.g é crescente em I.
iv) S e f e g são não negativas e crescentes em I e então f . g é crescente em I.
v) Obtenha variações destas afirmações, trocando o tipo de monotonicidade e depois as resolva.

Passo 1

O enunciado pede para analisar se determinadas combinações de funções monotônicas em um intervalo I produzem uma função também monotônica. Vamos usar a definição de monotonicidade:
f é crescente em I se, para todo x<y em I, vale f(x)\le f(y).
f é decrescente em I se, para todo x<y em I, vale f(x)\ge f(y).

Passo 2

(i) Se f e g são crescentes, então para x<y em I temos
f(x)\le f(y)\quad\text{e}\quad g(x)\le g(y).
Somando as duas desigualdades aparece
f(x)+g(x)\le f(y)+g(y),
logo f+g é crescente em I.

Passo 3

(ii) Queremos ver se, com f crescente e g decrescente, a soma f+g é decrescente. Isso exigiria
f(x)+g(x)\ge f(y)+g(y)\quad\text{sempre que }x<y.
Mas o fato de f subir e g cair não garante nenhuma relação fixa na soma.
Contra-exemplo em I=(0,\infty):
f(x)=x\\ (\text{crescente}),\qquad g(x)=\tfrac1x\\ (\text{decrescente}).
Então
(f+g)(x)=x+\tfrac1x
não é monotônica: decresce para 0<x<1 e cresce para x>1. Logo a afirmação é falsa.

Passo 4

(iii) Se f e g são crescentes, será f\cdot g crescente? Também não: basta permitir valores negativos.
Contra-exemplo em I=(-\infty,0):
f(x)=x,\quad g(x)=x\quad\Rightarrow\quad (f\cdot g)(x)=x^2.
Aqui f e g são crescentes (em todo \R), mas x^2 em (-\infty,0) é decrescente. Logo a afirmação é falsa.

Passo 5

(iv) Se f e g são não negativas e crescentes em I, então para x<y vale
0\le f(x)\le f(y), \quad 0\le g(x)\le g(y).
Multiplicando as desigualdades apropriadas:
f(x)g(x)\;\le\;f(x)g(y)\;\le\;f(y)g(y),
onde usamos g(x)\le g(y) e depois f(x)\le f(y) com todos os termos não negativos. Assim
(f\cdot g)(x)\le (f\cdot g)(y),
isto é, f\cdot g é crescente. Logo a afirmação é verdadeira.

Passo 6

(v) Algumas variações analogamente resolvidas:
  • Soma de duas funções decrescentes é decrescente (prova igual à do caso (i), invertendo as desigualdades).
  • Soma de crescente com decrescente em geral não é monotônica (mesmo contra-exemplo do passo 3).
  • Produto de duas funções decrescentes não negativas é decrescente (mesma ideia do passo 5, trocando “ \le” por “ \ge”).
  • Produto de crescente com decrescente não negativas em geral não é monotônico (por exemplo, x crescente e M-x decrescente em [0,M] geram uma parábola que cresce e depois decresce).

Resposta

i) Verdadeiro.
ii) Falso, contra-exemplo f(x)=x, g(x)=1/x em (0,\infty).
iii) Falso, contra-exemplo f(x)=g(x)=x em (-\infty,0).
iv) Verdadeiro, conforme o passo 5.
v) Variações principais: soma de duas decrescentes é decrescente; soma de crescente e decrescente não é monotônica; produto de duas decrescentes não negativas é decrescente; produto de crescente e decrescente não negativas não é monotônico.

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