Exercício 0.12 Usando composição de funções, estude os intervalos de monotonicidade das funções dadas.
.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a monotonicidade de
usando composição de funções. Note que podemos definir
de modo que
. Nosso plano é: primeiro estudar a monotonicidade de
, depois lembrar que
é estritamente crescente em
, e por fim concluir sobre
.
Passo 2
Estudando
, obtemos sua derivada
Daí vemos que
-
quando , -
em , -
quando .
Portantoé decrescente em e crescente em .
Passo 3
A função
é estritamente crescente em todo
, pois sempre que
temos
. Logo, a composição de
com qualquer função mantém o sentido de monotonicidade dessa função.
Passo 4
Como
e
é crescente, a monotonicidade de
coincide com a de
. Assim
-
é decrescente em , -
é crescente em .