Exercício 0.12 Usando composição de funções, estude os intervalos de monotonicidade das funções dadas.
f(x)=\left(x^{2}-2 x\right)^{3}.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a monotonicidade de
f(x) = \bigl(x^{2} - 2x\bigr)^{3}
usando composição de funções. Note que podemos definir
u(x) = x^{2}-2x \quad\text{e}\quad g(y) = y^{3},
de modo que f = g\circ u. Nosso plano é: primeiro estudar a monotonicidade de u, depois lembrar que g é estritamente crescente em \mathbb{R}, e por fim concluir sobre f.

Passo 2

Estudando u(x)=x^{2}-2x, obtemos sua derivada
u'(x)=2x-2.
Daí vemos que
  • u'(x)<0 quando x<1,
  • u'(x)=0 em x=1,
  • u'(x)>0 quando x>1.
    Portanto u é decrescente em (-\infty,1) e crescente em (1,\infty).

Passo 3

A função g(y)=y^{3} é estritamente crescente em todo \mathbb{R}, pois sempre que y_{1}<y_{2} temos y_{1}^{3}<y_{2}^{3}. Logo, a composição de g com qualquer função mantém o sentido de monotonicidade dessa função.

Passo 4

Como f(x)=g\bigl(u(x)\bigr) e g é crescente, a monotonicidade de f coincide com a de u. Assim
  • f é decrescente em (-\infty,1),
  • f é crescente em (1,\infty).

Resposta

f decresce em (-\infty,1) e cresce em (1,\infty).

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