Determine condições sobre as constantes a, b, c, d \in \mathbb{R} de modo que a inversa de f seja a própria função f.
Passo 1
O enunciado pede para determinar condições sobre as constantes a,b,c,d\in\mathbb{R} de modo que a função racional
f(x)=\frac{a x + b}{c x + d}
seja igual à sua própria inversa, isto é, f^{-1}(x)=f(x). O conteúdo principal é caracterizar as transformações de M"obius involutivas, usando a composição f\bigl(f(x)\bigr) e exigindo que ela seja a identidade.
Passo 2
Vamos compor f consigo mesma. Escrevendo
y = f(x)=\frac{a x + b}{c x + d},
temos
f(f(x)) = f(y) = \frac{a\,y + b}{c\,y + d} = \frac{a\bigl(a x + b\bigr) + b\bigl(c x + d\bigr)}{c\bigl(a x + b\bigr) + d\bigl(c x + d\bigr)}.
No numerador e denominador agrupamos em potências de x:
\text{Num} = (a^2 + b c)\,x + (a b + b d),
\text{Den} = (a c + c d)\,x + (b c + d^2).
Passo 3
Para que f(f(x))=x valha identicamente (como função racional), precisamos
\frac{\text{Num}}{\text{Den}} = x \quad\Longrightarrow\quad \text{Num} = x\cdot\text{Den}.
Isso dá o sistema de igualdades de coeficientes:
\begin{cases} a c + c d = 0,\\\ a^2 + b c = b c + d^2,\\\ a b + b d = 0. \end{cases}
Simplificando:
c\,(a+d)=0, \quad a^2 = d^2, \quad b\,(a+d)=0.
Passo 4
Das equações c(a+d)=0 e b(a+d)=0 mais a^2=d^2, temos dois casos:
– Caso I: a+d\neq0.
Então b=0 e c=0, e de a^2=d^2 segue d=\pm a.
Assim
f(x)=\frac{a x}{\pm a}=\pm x,
que de fato satisfaz f^{-1}(x)=f(x).
– Caso II: a+d=0.
Então d=-a e a^2=d^2 já está garantido. Não há mais restrição sobre b e c além de ad-bc\neq0 para f ser invertível. Logo a solução geral não trivial é
f(x)=\frac{a x + b}{c x - a},
com a,b,c\in\mathbb{R} e a^2+ b c\neq0.
Resposta
1. Se a+d\neq0, então b=0, c=0 e d=\pm a, dando f(x)=\pm x. 2. Se a+d=0, então d=-a com b,c arbitrários (só exigindo a^2+bc\neq0), isto é,