Exercício 12. Verificar se a matriz A é diagonalizável. Caso seja, determinar a matriz M que diagonaliza A e calcular M^{-1} A M.
A=\left(\begin{array}{cc}5 & -1 \\\\ 1 & 3\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = \begin{pmatrix}5 & -1\\[6pt]1 & 3\end{pmatrix}
é diagonalizável. Para isso vamos precisar do polinômio característico, dos autovalores com suas multiplicidades algébrica e geométrica, e ver se a soma das dimensões dos espaços próprios atinge 2.]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
\det(A - \lambda I) =\det\!\begin{pmatrix}5-\lambda & -1\\[4pt]1 & 3-\lambda\end{pmatrix} =(5-\lambda)(3-\lambda)-(-1)\cdot1.]

Passo 3

Expandindo o determinante obtemos
(5-\lambda)(3-\lambda)+1 =15 -5\lambda -3\lambda +\lambda^2 +1 =\lambda^2 -8\lambda +16.

Passo 4

Resolvendo \lambda^2 -8\lambda +16=0 temos
\lambda = \frac{8 \pm \sqrt{64 -64}}{2} = \frac{8}{2} = 4,
ou seja, o valor \lambda=4 é raiz dupla (multiplicidade algébrica 2).

Passo 5

Para achar o espaço próprio de \lambda=4, resolvemos
(A - 4I)x = 0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Isso dá a única condição x_1 - x_2 = 0, logo os autovetores são múltiplos de \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}. O espaço próprio tem dimensão 1 (multiplicidade geométrica 1).]

Passo 6

Como a multiplicidade geométrica de \lambda=4 é 1, menor que a sua multiplicidade algébrica 2, não há base de \mathbb R^2 formada por autovetores de A. Portanto A não é diagonalizável.

Resposta

A matriz A não é diagonalizável.

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