Exercício 12. Verificar se a matriz A é diagonalizável. Caso seja, determinar a matriz M que diagonaliza A e calcular M^{-1} A M. A=\left(\begin{array}{cc}5 & -1 \\\\ 1 & 3\end{array}\right)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a matriz
A = \begin{pmatrix}5 & -1\\[6pt]1 & 3\end{pmatrix}
é diagonalizável. Para isso vamos precisar do polinômio característico, dos autovalores com suas multiplicidades algébrica e geométrica, e ver se a soma das dimensões dos espaços próprios atinge 2.]
Isso dá a única condição x_1 - x_2 = 0, logo os autovetores são múltiplos de \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}. O espaço próprio tem dimensão 1 (multiplicidade geométrica 1).]
Passo 6
Como a multiplicidade geométrica de \lambda=4 é 1, menor que a sua multiplicidade algébrica 2, não há base de \mathbb R^2 formada por autovetores de A. Portanto Anão é diagonalizável.