Exercício 12. Verificar se a matriz A é diagonalizável. Caso seja, determinar a matriz M que diagonaliza A e calcular M^{-1} A M.
A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\\\ -1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 2 & 2\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\\\ -1 & 2 & 1\\\\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}
é diagonalizável. Para isso, vamos calcular o polinômio característico de A, encontrar seus autovalores e respectivos autovetores, comparar as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor e decidir se há três autovetores linearmente independentes.

Passo 2

O polinômio característico é
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 2 & 1\\\\ -1 & 2-\lambda & 1\\\\ 0 & 2 & 2-\lambda \end{pmatrix}.
Expandindo, obtemos
\det(A-\lambda I) = -( \lambda - 1)\bigl(\lambda^2 -4\lambda +2\bigr) +4 -2\lambda -2 = -\bigl(\lambda - 1\bigr)\bigl(\lambda^2 -4\lambda +4\bigr) = -(\lambda - 1)(\lambda - 2)^2.
Logo, os autovalores são
\lambda_{1} = 1\quad(\text{multiplicidade algébrica }1), \qquad \lambda_{2} = 2\quad(\text{multiplicidade algébrica }2).éé

Passo 3

Agora encontramos os autovetores.
Para \lambda=1, resolvemos (A - I)v=0:
\begin{pmatrix} 0 & 2 & 1\\\\ -1 & 1 & 1\\\\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0 \;\Longrightarrow\; 2y+z=0,\;-x+y+z=0 \;\Longrightarrow\; v = t\,(-1,1,-2).
A dimensão do autoespaço de \lambda=1 é 1.
Para \lambda=2, resolvemos (A - 2I)v=0:
\begin{pmatrix} -1 & 2 & 1\\\\ -1 & 0 & 1\\\\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0 \;\Longrightarrow\; -x+2y+z=0,\;-x+z=0,\;2y=0 \;\Longrightarrow\; y=0,\;x=z,
de modo que
v = s\,(1,0,1).
A dimensão do autoespaço de \lambda=2 também é 1, embora a multiplicidade algébrica seja 2.

Passo 4

Como a soma das dimensões dos autoespaços é
\underbrace{1}_{\lambda=1} + \underbrace{1}_{\lambda=2} =2 < 3,
não temos três autovetores linearmente independentes. Portanto A não é diagonalizável.

Resposta

A matriz A não é diagonalizável.

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