(Questão 01) [4,0 pontos] Assinale \mathbf{F} para as afirmações FALSAS e \mathbf{V} para afirmações VERDADEIRAS. Não é necessário justificar.
( ) \vec{u} \cdot \vec{u}=\|\vec{u}\|;
( ) Se ( \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} ) é base, então ( \vec{u}+\vec{v}, \vec{w}, \vec{u}+\vec{v}+\vec{w} ) é também base;
( ) (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) LD, então \vec{u} / / \vec{v} / / \vec{w}.
( ) \vec{w} / / \vec{v} \Rightarrow \operatorname{proj}_{\vec{v}} \vec{w}=\vec{w};
( ) Se (\vec{u}, \vec{v}) é LI, então \vec{u} \cdot \vec{v} \neq 0;
( ) Se E e F são bases, \operatorname{det}\left(M_{E F}\right) \neq 0;
( ) Dados os pontos A, B, C e D, se \|\overrightarrow{A B}\|=\|\overrightarrow{C D}\| então \|\overrightarrow{A C}\|=\|\overrightarrow{B D}\|.
( ) \vec{u} \perp \vec{v} \Longrightarrow \operatorname{proj}_{\vec{v}} \vec{u}=\overrightarrow{0};

Passo 1

O enunciado apresenta oito afirmações de Álgebra Vetorial sobre produto escalar, independência linear, base, projeção ortogonal, determinante de mudança de base e distâncias em espaços vetoriais. Nosso objetivo é avaliar cada afirmação e marcar como \mathbf{V} (verdadeira) ou \mathbf{F} (falsa).

Passo 2

Afirmação: “ \vec{u}\cdot\vec{u}=\|\vec{u}\|”.
Sabemos que \vec{u}\cdot\vec{u}=\|\vec{u}\|^2, não \|\vec{u}\|.
Conclusão: \mathbf{F}.

Passo 3

Afirmação: “Se (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) é base, então (\vec{u}+\vec{v},\vec{w},\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}) é também base.”
Note que \vec{u}+\vec{v}+\vec{w}=(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}, logo os três vetores são linearmente dependentes.
Conclusão: \mathbf{F}.

Passo 4

Afirmação: “ (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) LD, então \vec{u}//\vec{v}//\vec{w}.”
Linearidade dependente em três vetores não implica que todos sejam paralelos (pode haver dependência sem colinearidade).
Conclusão: \mathbf{F}.

Passo 5

Afirmação: “ \vec{w}//\vec{v}\Rightarrow\operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{w}=\vec{w}.”
Se \vec{w}=k\vec{v}, então
\operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{w} =\frac{\vec{w}\cdot\vec{v}}{\vec{v}\cdot\vec{v}}\;\vec{v} =\frac{k\,\vec{v}\cdot\vec{v}}{\vec{v}\cdot\vec{v}}\;\vec{v} =k\vec{v} =\vec{w}.
Conclusão: \mathbf{V}.

Passo 6

Afirmação: “Se (\vec{u},\vec{v}) é LI, então \vec{u}\cdot\vec{v}\neq0.”
Vetores lineares independentes podem ser perpendiculares, caso em que o produto escalar é zero.
Conclusão: \mathbf{F}.

Passo 7

Afirmação: “Se E e F são bases, \det(M_{EF})\neq0.”
A matriz de mudança de base entre duas bases é invertível, logo seu determinante é não nulo.
Conclusão: \mathbf{V}.

Passo 8

Afirmação: “Dados A,B,C,D, se \|\overrightarrow{AB}\|=\|\overrightarrow{CD}\| então \|\overrightarrow{AC}\|=\|\overrightarrow{BD}\|.”
Não há relação geral que assegure isso; é falsa.
Conclusão: \mathbf{F}.

Passo 9

Afirmação: “ \vec{u}\perp\vec{v}\Longrightarrow\operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{u}=\overrightarrow{0}.”
Se \vec{u}\cdot\vec{v}=0, então a projeção é o vetor nulo.
Conclusão: \mathbf{V}.

Resposta

\mathbf{F},\;\mathbf{F},\;\mathbf{F},\;\mathbf{V},\;\mathbf{F},\;\mathbf{V},\;\mathbf{F},\;\mathbf{V}

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