Exercício 9 Considere
das funções de classe
. Considere
o conjunto das funções
que são soluções da equação diferencial
Mostre que
é subespaço de
.
Passo 1
O enunciado considera o espaço vetorial
de todas as funções duas vezes continuamente diferenciáveis em
e define
Para mostrar que
é subespaço de
, basta provar que
-
, - se
então , - se
e então .
Passo 2
Mostramos que
exibindo a função zero. Defina
para todo
. Então
ou seja,
.
Passo 3
Fechamento em relação à adição. Tomemos
; isso significa que
para todo
. Então, para a soma
vale
Logo
também satisfaz a equação diferencial e pertence a
.
Passo 4
Fechamento em relação à multiplicação por escalar. Seja
e
. Como
, temos
Logo
.