Exercício 9 Considere \mathscr{C}^{2}(\mathbb{R}) das funções de classe C^{(2)} f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}. Considere S o conjunto das funções y \in \mathscr{C}^{2}(\mathbb{R}) que são soluções da equação diferencial
y^{\prime \prime}(x)+y(x)=0 .
Mostre que S é subespaço de \mathscr{C}^{2}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado considera o espaço vetorial \mathscr{C}^{2}(\mathbb{R}) de todas as funções duas vezes continuamente diferenciáveis em \mathbb{R} e define
S = \bigl\{\,y\in \mathscr{C}^{2}(\mathbb{R}) \mid y''(x) + y(x) = 0\text{ para todo }x\in\mathbb{R}\bigr\}.
Para mostrar que S é subespaço de \mathscr{C}^{2}(\mathbb{R}), basta provar que
  1. S\neq\emptyset,
  2. se y_{1},y_{2}\in S então y_{1}+y_{2}\in S,
  3. se \alpha\in\mathbb{R} e y\in S então \alpha\,y\in S.

Passo 2

Mostramos que S\neq\emptyset exibindo a função zero. Defina y_{0}(x)=0 para todo x. Então
y_{0}''(x)+y_{0}(x)=0+0=0,
ou seja, y_{0}\in S.

Passo 3

Fechamento em relação à adição. Tomemos y_{1},y_{2}\in S; isso significa que
y_{1}''(x)+y_{1}(x)=0 \quad\text{e}\quad y_{2}''(x)+y_{2}(x)=0
para todo x. Então, para a soma y_{1}+y_{2} vale
(y_{1}+y_{2})''(x)+(y_{1}+y_{2})(x) = y_{1}''(x)+y_{2}''(x) + y_{1}(x)+y_{2}(x) = \bigl(y_{1}''(x)+y_{1}(x)\bigr) + \bigl(y_{2}''(x)+y_{2}(x)\bigr) = 0+0=0.
Logo y_{1}+y_{2} também satisfaz a equação diferencial e pertence a S.

Passo 4

Fechamento em relação à multiplicação por escalar. Seja \alpha\in\mathbb{R} e y\in S. Como y''(x)+y(x)=0, temos
(\alpha y)''(x)+(\alpha y)(x) = \alpha\,y''(x)+\alpha\,y(x) = \alpha\bigl(y''(x)+y(x)\bigr) = \alpha\cdot 0 = 0.
Logo \alpha y\in S.

Resposta

S é subespaço de \mathscr{C}^{2}(\mathbb{R}).

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